Considere a equação diferencial do sistema massa-mola forçado sem amortecimento
. Mostre que:
se
a solução geral é dada por
se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que descreve um sistema massa-mola forçado sem amortecimento:
Aqui,
é a massa,
é a constante da mola,
é a força aplicada,
é a frequência da força externa, e
representa a aceleração. Nosso objetivo é mostrar que, quando a frequência da força
é igual à frequência natural do sistema
, a solução geral para
é:
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e encontrar soluções complementares e particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a frequência natural do sistema, que é dada por:
Essa frequência representa como o sistema oscila naturalmente sem nenhuma força externa aplicada.
Passo 3
A equação diferencial dada é:
Podemos reescrever essa equação dividindo tudo por
:
Lembrando que
, a equação fica:
Passo 4
Para resolver essa equação diferencial, vamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução complementar (solução da equação homogênea) e da solução particular (solução específica para a equação completa).
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
As soluções dessa equação são combinações de funções seno e cosseno:
Onde
e
são constantes que determinam as condições iniciais.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Quando a frequência da força
é igual à frequência natural
, estamos no caso de ressonância, e a solução particular assume uma forma diferente devido à coincidência das frequências.
Passo 6
Para
, tentamos uma solução particular na forma:
Aqui, o termo
é necessário porque a frequência da força coincide com a frequência natural, e sem ele a solução cairia na solução complementar.
Passo 7
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 8
Substituímos
e
na equação diferencial:
Substituindo:
Simplificando os termos:
Passo 9
Igualando os coeficientes dos termos
:
Resolvendo para
:
Passo 10
Agora temos a solução particular:
Passo 11
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução complementar e da solução particular:
Resposta
Portanto, quando
, a solução geral da equação diferencial é: