Considere a equação diferencial do sistema massa-mola forçado sem amortecimento m ddotu+k u=F0 cos (omega t). Mostre que:
se omega=omega0 a solução geral é dada por
u(t)=c1 cos (omega0 t)+c2 sin (omega0 t)+F02 m omega0 t sin (omega0 t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que descreve um sistema massa-mola forçado sem amortecimento:
m ddotu + k u = F0 cos (omega t)
Aqui, m é a massa, k é a constante da mola, F0 é a força aplicada, omega é a frequência da força externa, e ddotu representa a aceleração. Nosso objetivo é mostrar que, quando a frequência da força omega é igual à frequência natural do sistema omega0, a solução geral para u(t) é:
u(t) = c1 cos (omega0 t) + c2 sin (omega0 t) + F02 m omega0 t sin (omega0 t)
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e encontrar soluções complementares e particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a frequência natural do sistema, que é dada por:
omega0 = raizkm
Essa frequência representa como o sistema oscila naturalmente sem nenhuma força externa aplicada.

Passo 3

A equação diferencial dada é:
m ddotu + k u = F0 cos (omega t)
Podemos reescrever essa equação dividindo tudo por m:
ddotu + km u = F0m cos (omega t)
Lembrando que km = omega0^2, a equação fica:
ddotu + omega0^2 u = F0m cos (omega t)

Passo 4

Para resolver essa equação diferencial, vamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução complementar (solução da equação homogênea) e da solução particular (solução específica para a equação completa).
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
ddotu + omega0^2 u = 0
As soluções dessa equação são combinações de funções seno e cosseno:
uc(t) = c1 cos (omega0 t) + c2 sin (omega0 t)
Onde c1 e c2 são constantes que determinam as condições iniciais.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular up(t) para a equação completa:
ddotu + omega0^2 u = F0m cos (omega t)
Quando a frequência da força omega é igual à frequência natural omega0, estamos no caso de ressonância, e a solução particular assume uma forma diferente devido à coincidência das frequências.

Passo 6

Para omega = omega0, tentamos uma solução particular na forma:
up(t) = A t sin (omega0 t)
Aqui, o termo t é necessário porque a frequência da força coincide com a frequência natural, e sem ele a solução cairia na solução complementar.

Passo 7

Vamos calcular as derivadas de up(t):
Primeira derivada:
dotup(t) = A sin (omega0 t) + A omega0 t cos (omega0 t)
Segunda derivada:
ddotup(t) = 2 A omega0 cos (omega0 t) - A omega0^2 t sin (omega0 t)

Passo 8

Substituímos up(t) e ddotup(t) na equação diferencial:
ddotup + omega0^2 up = F0m cos (omega0 t)
Substituindo:
2 A omega0 cos (omega0 t) - A omega0^2 t sin (omega0 t) + omega0^2 (A t sin (omega0 t)) = F0m cos (omega0 t)
Simplificando os termos:
2 A omega0 cos (omega0 t) = F0m cos (omega0 t)

Passo 9

Igualando os coeficientes dos termos cos (omega0 t):
2 A omega0 = F0m
Resolvendo para A:
A = F02 m omega0

Passo 10

Agora temos a solução particular:
up(t) = F02 m omega0 t sin (omega0 t)

Passo 11

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução complementar e da solução particular:
u(t) = c1 cos (omega0 t) + c2 sin (omega0 t) + F02 m omega0 t sin (omega0 t)

Resposta

Portanto, quando omega = omega0, a solução geral da equação diferencial é:
u(t) = c1 cos (omega0 t) + c2 sin (omega0 t) + F02 m omega0 t sin (omega0 t)

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