Mostre que Lambda(t)=integral-infty^t 2Pi0,1 / 2(tau)-Pit / 2,1(tau) d tau.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função pulso triangular unitário, Lambda(t), definida por partes. O objetivo é mostrar que essa função pode ser representada como uma integral envolvendo funções retangulares (as Pi). Para resolver isso, vamos precisar conhecer as definições de funções por partes e como realizar integrais de funções definidas por intervalos.
Passo 2
Vamos começar observando a definição de Lambda(t):
Lambda(t)=cc 0, & t<0 2 t, & 01
Essa função forma um triângulo com base no intervalo [0,1], alcançando o pico em t=12.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a expressão que precisamos provar:
Lambda(t)=integral-infty^t 2Pi0,12(tau)-Pit2,1(tau) d tau
As funções Pia,b(tau) são funções retangulares que valem 1 no intervalo [a,b] e 0 fora dele. Portanto, Pi0,12(tau) é 1 para tau entre 0 e 12, e Pit2,1(tau) é 1 para tau entre t2 e 1.
Passo 4
Vamos calcular a diferença $ \Pi_{0,\frac{1}{2}}(\tau) - \Pi_{\frac{t}{2},1}(\tau) $. Essa diferença será:
Igual a 1 quando Pi0,12(tau) - Pit2,1(tau) (já que apenas 0 < tau < t2 vale 1).
Igual a 0 quando Pi0,12(tau) (ambas as funções valem 1).
Igual a -1 quando t2 < tau < 12 (apenas 12 < tau < 1 vale 1).
Igual a 0 em outros casos.
Passo 5
Multiplicando essa diferença por 2, temos:
2Pi0,12(tau) - Pit2,1(tau) = 2, & 0 < tau < t2 0, & t2 < tau < 12 -2, & 12 < tau < 1 0, & caso contrário á
Passo 6
Agora, vamos integrar essa função de -infty até t. Considerando os intervalos onde a função é diferente de zero, a integral se divide em partes:
De 0 a t2: a função vale 2.
De 12 a 1: a função vale -2.
Dependendo do valor de t, os limites de integração podem variar.
Passo 7
Vamos calcular a integral para diferentes intervalos de t:
Para t < 0:
A função Lambda(t) é 0 e a integral também é 0, pois o intervalo de integração não inclui nenhuma parte onde a função é diferente de zero.
Para 0 < t < 12:
A integral é:
integral0^t 2 , dtau = 2t
Que corresponde à definição de Lambda(t) nesse intervalo.
Novamente, isso coincide com a definição de Lambda(t) nesse intervalo.
Para t > 1:
A integral acumula os valores de todos os intervalos, resultando em 0, assim como Lambda(t).
Passo 8
Concluímos que, em todos os intervalos de t, a integral $ \int_{-\infty}^{t} 2\left{\Pi_{0,\frac{1}{2}}(\tau)-\Pi_{\frac{t}{2},1}(\tau)\right} d \tau $ coincide exatamente com a definição da função pulso triangular unitário integral-infty^t 2Pi0,12(tau)-Pit2,1(tau) d tau .
Resposta
Portanto, mostramos que
Lambda(t)=integral-infty^t 2Pi0,12(tau)-Pit2,1(tau) d tau