Considere a equação diferencial
u_x = 0 em R^2
Usando integração mostre que a solução geral é da forma u(x, y) = f(y), com f derivável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial parcial: em . Isso significa que a derivada de em relação a é igual a zero em todo o plano. Nosso objetivo é usar integração para mostrar que a solução geral dessa equação é da forma , onde é uma função derivável. Para resolver isso, vamos precisar entender como as derivadas parciais funcionam e como integrar uma função em relação a uma das suas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . A notação representa a derivada parcial de em relação a . Se , isso quer dizer que não muda quando deslocamos , ou seja, é constante em relação a .

Passo 3

Como não varia com , isso implica que depende apenas de . Então, podemos escrever como uma função que depende somente de , ou seja, , onde é uma função qualquer de .

Passo 4

Para confirmar isso, vamos integrar a equação diferencial em relação a . A integração de em relação a nos dá:
Aqui, é uma constante de integração que pode depender de . Portanto, , que podemos reescrever como , onde é uma função derivável de .

Resposta

A solução geral da equação diferencial em é , onde é uma função derivável de .

Exercícios relacionados