Considere a equação diferencial
Usando integração mostre que a solução geral é da forma
, com
derivável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial parcial:
em
. Isso significa que a derivada de
em relação a
é igual a zero em todo o plano. Nosso objetivo é usar integração para mostrar que a solução geral dessa equação é da forma
, onde
é uma função derivável. Para resolver isso, vamos precisar entender como as derivadas parciais funcionam e como integrar uma função em relação a uma das suas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. A notação
representa a derivada parcial de
em relação a
. Se
, isso quer dizer que
não muda quando deslocamos
, ou seja,
é constante em relação a
.
Passo 3
Como
não varia com
, isso implica que
depende apenas de
. Então, podemos escrever
como uma função que depende somente de
, ou seja,
, onde
é uma função qualquer de
.
Passo 4
Para confirmar isso, vamos integrar a equação diferencial
em relação a
. A integração de
em relação a
nos dá:
Aqui,
é uma constante de integração que pode depender de
. Portanto,
, que podemos reescrever como
, onde
é uma função derivável de
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
em
é
, onde
é uma função derivável de
.