Encontre uma solução para o problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial parcial. O enunciado é encontrar uma solução para a equação
com a condição inicial
. Aqui, estamos lidando com derivadas parciais, que aparecem quando a função depende de mais de uma variável, no caso,
e
. Para resolver isso, vamos precisar integrar a equação e aplicar a condição inicial para determinar as constantes envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar a equação
. Isso significa que a derivada mista de
em relação a
e
é zero. Em termos simples, isso indica que quando derivamos
primeiro em relação a
e depois em relação a
, o resultado é zero. Isso sugere que
pode ser expressa como uma soma de duas funções, uma que depende só de
e outra que depende só de
:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a condição inicial
. Substituindo
na nossa expressão:
Aqui,
é uma constante, vamos chamar de
. Então temos:
Para encontrar
, basta isolar:
Passo 4
Agora, voltamos à expressão geral de
:
Sabemos que
. Portanto:
Como
é uma constante que pode ser absorvida em
, podemos reescrever isso como:
Onde
é uma função arbitrária de
.
Resposta
A solução geral do problema é:
onde
é uma função arbitrária de
.