Encontre uma solução para o problema de valor inicial
u_xy=0 e u(0, y)=cos(y)e^y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial parcial. O enunciado é encontrar uma solução para a equação com a condição inicial . Aqui, estamos lidando com derivadas parciais, que aparecem quando a função depende de mais de uma variável, no caso, e . Para resolver isso, vamos precisar integrar a equação e aplicar a condição inicial para determinar as constantes envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar a equação . Isso significa que a derivada mista de em relação a e é zero. Em termos simples, isso indica que quando derivamos primeiro em relação a e depois em relação a , o resultado é zero. Isso sugere que pode ser expressa como uma soma de duas funções, uma que depende só de e outra que depende só de :

Passo 3

Agora, vamos aplicar a condição inicial . Substituindo na nossa expressão:
Aqui, é uma constante, vamos chamar de . Então temos:
Para encontrar , basta isolar:

Passo 4

Agora, voltamos à expressão geral de :
Sabemos que . Portanto:
Como é uma constante que pode ser absorvida em , podemos reescrever isso como:
Onde é uma função arbitrária de .

Resposta

A solução geral do problema é:
onde é uma função arbitrária de .

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