Usando integração obtenha uma solução para a equação
u_xx = cos(x) * e^(3*x + 2*y) + x*y^2 + 2 em R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver a equação diferencial parcial em usando integração. Isso está dentro da matéria de equações diferenciais parciais, especificamente lidando com derivadas parciais e integrações múltiplas. Para resolver, vamos integrar a equação duas vezes em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a equação uma vez em relação a . A equação dada é:
Integrando ambos os lados em relação a :
Aqui, é uma função de que surge como constante de integração, já que estamos integrando em relação a .

Passo 3

Agora, vamos resolver cada termo da integral separadamente:
  1. Integrando :
Podemos tratar como uma constante em relação a :
Para resolver , usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos que a integral de é:
Aplicando e :
Portanto:
  1. Integrando :
Como é tratado como constante:
  1. Integrando :
Juntando tudo:

Passo 4

Agora, vamos integrar novamente em relação a para encontrar :
Vamos integrar cada termo:
  1. Integrando :
Isso é semelhante à integral que fizemos antes. Usando o mesmo resultado:
Mas na verdade, como já integrávamos essa expressão uma vez para chegar a , ao integrar novamente, teremos:
  1. Integrando :
  1. Integrando :
  1. Integrando :
  1. Integrando a constante :
Como já está integrada, apenas mantemos .
Juntando tudo:

Resposta

A solução geral para a equação dada é:
Onde e são funções arbitrárias de que surgem como constantes de integração.

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