Usando integração obtenha uma solução para a equação
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver a equação diferencial parcial
em
usando integração. Isso está dentro da matéria de equações diferenciais parciais, especificamente lidando com derivadas parciais e integrações múltiplas. Para resolver, vamos integrar a equação duas vezes em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a equação uma vez em relação a
. A equação dada é:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que surge como constante de integração, já que estamos integrando em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos resolver cada termo da integral separadamente:
- Integrando
:
Podemos tratar
como uma constante em relação a
:
Para resolver
, usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos que a integral de
é:
Aplicando
e
:
Portanto:
- Integrando
:
Como
é tratado como constante:
- Integrando
:
Juntando tudo:
Passo 4
Agora, vamos integrar novamente em relação a
para encontrar
:
Vamos integrar cada termo:
- Integrando
:
Isso é semelhante à integral que fizemos antes. Usando o mesmo resultado:
Mas na verdade, como já integrávamos essa expressão uma vez para chegar a
, ao integrar novamente, teremos:
- Integrando
:
- Integrando
:
- Integrando
:
- Integrando a constante
:
Como já está integrada, apenas mantemos
.
Juntando tudo:
Resposta
A solução geral para a equação dada é:
Onde
e
são funções arbitrárias de
que surgem como constantes de integração.