Considere a equaçāo diferencial x y+(2 x^2+3 y^2-20) d yd x=0
Verifique que a função mu(y) encontrada é realmente uma fator integrante para a equação dada.

Passo 1

Temos a equação diferencial
x,y + l(2x^2+3y^2-20r)dydx=0
que escrevemos na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0 com
M(x,y)=x,y, N(x,y)=2x^2+3y^2-20
Para um fator integrante mu(y) basta que, ao multiplicar por mu, a equação se torne exata, isto é, que
partialpartial yl(mu,Mr) =partialpartial xl(mu,Nr)
Supondo que já encontramos
mu(y)=y^3,
vamos verificar esse critério.

Passo 2

Multiplicando M e N por mu(y)=y^3, definimos
tilde M(x,y)=y^3,M(x,y)=y^3,(x,y)=x,y^4,
tilde N(x,y)=y^3,N(x,y) =y^3l(2x^2+3y^2-20r) =2x^2y^3+3y^5-20y^3

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais:
partial tilde Mpartial y =partialpartial yl(x,y^4r) =4x,y^3,
partial tilde Npartial x =partialpartial xl(2x^2y^3+3y^5-20y^3r) =4x,y^3
Vemos que
partial tilde Mpartial y =partial tilde Npartial x,
ou seja, a equação multiplicada por y^3 é exata.

Resposta

Portanto, mu(y)=y^3 é de fato um fator integrante da equação dada.

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