Encontre a serie de Fourier
F(f)(x)=a02+sumn=1^infty(an cos (n piL x)+bn sin (n piL x))
Para as funções seguintes
f(x)=cc -12 x, & -2<x<0 2 x-12 x^2, & 0<x<2
com f(x+4)=f(x).

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de período
com (f(x+4)=f(x)]. Vamos usar as fórmulas

e depois escrever

Passo 2

Cálculo de a0. Com L=2,
a0=12integral-2^2f(x),dx =12l[integral-2^0l(-tfrac12 xr)dx+integral0^2l(2x-tfrac12x^2r)dxr]
Calculando cada parte:
integral-2^0l(-tfrac12 xr)dx =-tfrac12l[tfracx^22r]-2^0 =1, integral0^2l(2x-tfrac12x^2r)dx =l[x^2-tfracx^36r]0^2 =8/3
Logo integral-2^2f(x)dx=1+8/3=11/3 e
a0=12cdot113=116, a02=1112

Passo 3

Cálculo de an. Defina k=tfracnpi2. Por simetria e mudança de variável reduz-se a
an=12integral-2^2f(x)cos(kx),dx =14integral0^2(5u-u^2)cos(ku),du
Fazendo integração por partes e usando cos(2k)=(-1)^n, obtém-se
integral0^2(5u-u^2)cos(ku)du =4;(-1)^n-5n^2pi^2/4 =4,(-1)^n-5n^2pi^2times4,
portanto
an=14cdot 4,(-1)^n-5n^2pi^2 =(-1)^n-5n^2pi^2

Passo 4

Cálculo de bn. De modo análogo, define-se
bn=12integral-2^2f(x)sin(kx),dx =14integral0^2(3u-u^2)sin(ku),du
Integração por partes e sin(2k)=0,;cos(2k)=(-1)^n levam a
bn =4-(-1)^nl(n^2pi^2+4r)n^3pi^3

Resposta

boxed F(f)(x) =1112 +sumn=1^infty!gl[ (-1)^n-5n^2pi^2cos!l(tfracnpi x2r) +4-(-1)^nl(n^2pi^2+4r)n^3pi^3sin!l(tfracnpi x2r) gr]

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