Considere a equação diferencial x+(x^2 y+4 y) d yd x=0
Verifique que a função mu(y) encontrada é realmente uma fator integrante para a equação dada.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x + l(x^2 y + 4yr),dydx = 0
que podemos escrever na forma M(x,y) + N(x,y),dydx=0, com
M(x,y) = x, N(x,y) = x^2y + 4y
O objetivo é verificar que a função mu(y) encontrada depende só de y e melhora a equação para uma exata.

Passo 2

Para que exista um fator integrante mu(y) que dependa somente de y, deve valer
partial N/partial x - partial M/partial yM = phi(y),
ou seja, essa razão deve ser função só de y. Calculamos:
partial Mpartial y = 0, partial Npartial x = 2xy,
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partial N/partial x - partial M/partial yM = 2xy - 0x = 2y
Como 2y depende apenas de y, a condição está satisfeita.

Passo 3

Integramos phi(y)=2y para obter mu(y):
mu(y) = exp!l(integral 2y,dyr) = expl(y^2r) = e^y^2

Passo 4

Agora verificamos que multiplicar a EDO por mu(y)=e^y^2 torna-a exata. Definimos
tilde M(x,y) = mu(y),M(x,y) = x,e^y^2, tilde N(x,y) = mu(y),N(x,y) = l(x^2y+4yr)e^y^2
Calculamos as parciais:
partial tilde Mpartial y = xcdot ddyl(e^y^2r) = xcdot l(2y,e^y^2r) = 2xy,e^y^2,
partial tilde Npartial x = e^y^2,ycdot ddx(x^2+4) = e^y^2,ycdot 2x = 2xy,e^y^2
Como partial tilde M/partial y = partial tilde N/partial x, a equação é exata com esse mu.

Resposta

A função mu(y)=e^y^2 é de fato um fator integrante, pois torna a equação exata.

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