Use o método de Coeficientes Indeterminados para encontrar a solução geral da equação diferencial e a solução do problema de valor inicial dado.
(f)
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Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente tem uma equação diferencial do tipo
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o método dos Coeficientes Indeterminados. Esse método é útil quando a parte não homogênea (do lado direito da equação) é uma função que a gente já conhece como senos, cossenos, polinômios, exponenciais, ou combinações delas. Vamos precisar entender a parte homogênea da equação e depois achar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para resolver isso, a gente assume uma solução da forma
. Derivando, temos
e
. Substituindo na equação homogênea:
Como
nunca é zero, a gente tem que
, ou seja,
.
Passo 3
Com as raízes
e
, a solução geral da parte homogênea é:
Onde
e
são constantes que determinam a solução geral.
Passo 4
Agora, vamos achar uma solução particular
para a equação completa
. Vamos lidar com cada termo do lado direito separadamente.
Para
:
Já que a função está presente na solução homogênea, precisamos multiplicar nossa tentativa de solução por
para evitar repetição. Assumimos:
Já que a função
Derivando e substituindo na equação, encontramos os coeficientes
e
.
Para
:
Como é um polinômio de segundo grau, assumimos uma solução da forma:
Como é um polinômio de segundo grau, assumimos uma solução da forma:
Derivando e substituindo na equação, encontramos os coeficientes
,
e
.
Após determinar todos os coeficientes, a solução particular total é:
Resposta
Unindo a solução homogênea com a particular, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
,
,
,
,
,
e
são constantes determináveis através das condições iniciais ou adicionais que forem dadas.