Use o método de Coeficientes Indeterminados para encontrar a solução geral da equação diferencial e a solução do problema de valor inicial dado.
(f) y'' + y = cos(x) + 8 x^2

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente tem uma equação diferencial do tipo . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o método dos Coeficientes Indeterminados. Esse método é útil quando a parte não homogênea (do lado direito da equação) é uma função que a gente já conhece como senos, cossenos, polinômios, exponenciais, ou combinações delas. Vamos precisar entender a parte homogênea da equação e depois achar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para resolver isso, a gente assume uma solução da forma . Derivando, temos e . Substituindo na equação homogênea:
Como nunca é zero, a gente tem que , ou seja, .

Passo 3

Com as raízes e , a solução geral da parte homogênea é:
Onde e são constantes que determinam a solução geral.

Passo 4

Agora, vamos achar uma solução particular para a equação completa . Vamos lidar com cada termo do lado direito separadamente.
Para :
Já que a função está presente na solução homogênea, precisamos multiplicar nossa tentativa de solução por para evitar repetição. Assumimos:
Derivando e substituindo na equação, encontramos os coeficientes e .
Para :
Como é um polinômio de segundo grau, assumimos uma solução da forma:
Derivando e substituindo na equação, encontramos os coeficientes , e .
Após determinar todos os coeficientes, a solução particular total é:

Resposta

Unindo a solução homogênea com a particular, a solução geral da equação diferencial é:
Onde , , , , , e são constantes determináveis através das condições iniciais ou adicionais que forem dadas.

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