Determine o intervalo de convergência das séries de potências: sumn=1^infty n^n(x-3)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir o intervalo de convergência da série de potências . Isso envolve entender para quais valores de essa série “funciona”, ou seja, para quais valores ela converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil para séries com termos que envolvem potências e fatorias.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que se o limite do valor absoluto de quando tende ao infinito for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste não é conclusivo. Então, vamos calcular esse limite para a nossa série.

Passo 3

Vamos identificar an = n^n(x-3)^n e an+1 = (n+1)^n+1(x-3)^n+1 e an+1an = (n+1)^n+1(x-3)^n+1n^n(x-3)^n = ( n+1n )^n cdot (n+1) cdot |x-3| :
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
(1 + 1n)^n cdot (n+1) cdot |x-3|
Sabemos que e cdot infty cdot |x-3| tende a quando tende ao infinito. Além disso, cresce sem limites à medida que aumenta. Então, o limite fica:
Isso significa que, para qualquer valor de diferente de 3, o limite tende ao infinito.

Passo 5

Para que a série convirja, precisamos que o limite da razão seja menor que 1. Mas observamos que o limite tende ao infinito para qualquer . A única exceção é quando , porque nesse caso , fazendo com que todo o termo seja zero.

Passo 6

Portanto, a única situação em que a série converge é quando .

Resposta

O intervalo de convergência é apenas .

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