Determine o intervalo de convergência das séries de potências:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir o intervalo de convergência da série de potências
. Isso envolve entender para quais valores de
essa série “funciona”, ou seja, para quais valores ela converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil para séries com termos que envolvem potências e fatorias.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que se o limite do valor absoluto de
quando
tende ao infinito for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste não é conclusivo. Então, vamos calcular esse limite para a nossa série.
Passo 3
Vamos identificar
e
:
Agora, vamos calcular
:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
Sabemos que
tende a
quando
tende ao infinito. Além disso,
cresce sem limites à medida que
aumenta. Então, o limite fica:
Isso significa que, para qualquer valor de
diferente de 3, o limite tende ao infinito.
Passo 5
Para que a série convirja, precisamos que o limite da razão seja menor que 1. Mas observamos que o limite tende ao infinito para qualquer
. A única exceção é quando
, porque nesse caso
, fazendo com que todo o termo seja zero.
Passo 6
Portanto, a única situação em que a série converge é quando
.
Resposta
O intervalo de convergência é apenas
.