Considere a equação diferencial
x y^prime prime-(x+n) y^prime+n y=0
Mostre que y2=C e^x integral x^n e^-x d x, C in R é uma solução da equação dada e verifique que y1 e y2 são soluções fundamentais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
x y'' - (x + n) y' + n y = 0
E pede para mostrarmos que uma função específica, , é solução dessa equação. Além disso, precisamos verificar que e são soluções fundamentais. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares, cálculo de derivadas e o teste de Wronskiano para verificar a fundamentalidade das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, é uma constante, e a expressão envolve uma integral que depende de . Nosso objetivo é mostrar que, ao substituir na equação diferencial original, a igualdade será verdadeira.

Passo 3

Para verificar que y2 = C e^x I(x) é uma solução, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de em relação a . Vamos fazer isso passo a passo.
Primeiro, vamos chamar a integral de . Assim, temos:

Passo 4

Calculando a primeira derivada de y2' = C ( e^x I(x) + e^x I'(x) ) = C e^x (I(x) + I'(x)) :
Aqui, usamos a regra do produto para derivar e .

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada de y2'' = C ( e^x (I(x) + I'(x)) + e^x (I'(x) + I''(x)) ) = C e^x (I(x) + 2I'(x) + I''(x)) :
Mais uma vez, aplicamos a regra do produto para cada termo.

Passo 6

Substituindo x cdot y2'' - (x + n) cdot y2' + n cdot y2 = 0 , x cdot C e^x (I + 2I' + I'') - (x + n) cdot C e^x (I + I') + n cdot C e^x I = 0 e C e^x [ x(I + 2I' + I'') - (x + n)(I + I') + nI ] = 0 na equação diferencial original:
Vamos substituir cada termo:
Podemos fatorar :

Passo 7

Simplificando a expressão dentro dos colchetes:
xI + 2xI' + xI'' - xI - xI' - nI - nI' + nI = 0
Observamos que 2xI' + xI'' - xI' - nI' = 0 e (xI'') + (2x - x - n)I' = xI'' + (x - n)I' = 0 se cancelam, bem como e .
Ficamos com:
Simplificando mais:

Passo 8

Para que a igualdade seja válida, precisamos que:
xI'' + (x - n)I' = 0
Isso nos leva à seguinte equaç��o diferencial para xI'' + (x - n)I' = 0 :
Vamos verificar se isso é verdade considerando que .

Passo 9

Calculando I'(x) = x^n e^-x :
I''(x) = ddx(x^n e^-x) = n x^n-1 e^-x - x^n e^-x
E a segunda derivada :

Passo 10

Substituindo x(n x^n-1 e^-x - x^n e^-x) + (x - n)(x^n e^-x) = 0 e n x^n e^-x - x^n+1 e^-x + x^n+1 e^-x - n x^n e^-x = 0 na equação 0 = 0 :
Distribuindo:
Vemos que todos os termos se cancelam:
Isso confirma que a equação é satisfeita.

Passo 11

Como a substituição de na equação diferencial resultou em uma igualdade válida, podemos concluir que é realmente uma solução da equação dada.

Passo 12

Agora, precisamos verificar que W(y1, y2) = y1 y2' - y2 y1' e são soluções fundamentais. Supondo que seja uma solução conhecida da equação, vamos utilizar o Wronskiano para verificar a independência linear.
O Wronskiano de duas funções e é dado por:
Se , as soluções são linearmente independentes e, portanto, fundamentais.

Passo 13

Calculando o Wronskiano com W(y1, y2) neq 0 e uma solução , observamos que:
Isso significa que as soluções são independentes e formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial dada.

Resposta

Portanto, demonstramos que é uma solução da equação diferencial e que e são soluções fundamentais.

Exercícios relacionados