Considere a equação diferencial
Mostre que
é uma solução da equação dada e verifique que
e
são soluções fundamentais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
E pede para mostrarmos que uma função específica,
, é solução dessa equação. Além disso, precisamos verificar que
e
são soluções fundamentais. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares, cálculo de derivadas e o teste de Wronskiano para verificar a fundamentalidade das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Aqui,
é uma constante, e a expressão envolve uma integral que depende de
. Nosso objetivo é mostrar que, ao substituir
na equação diferencial original, a igualdade será verdadeira.
Passo 3
Para verificar que
é uma solução, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de
em relação a
. Vamos fazer isso passo a passo.
Primeiro, vamos chamar a integral de
. Assim, temos:
Passo 4
Calculando a primeira derivada de
:
Aqui, usamos a regra do produto para derivar
e
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
:
Mais uma vez, aplicamos a regra do produto para cada termo.
Passo 6
Substituindo
,
e
na equação diferencial original:
Vamos substituir cada termo:
Podemos fatorar
:
Passo 7
Simplificando a expressão dentro dos colchetes:
Observamos que
e
se cancelam, bem como
e
.
Ficamos com:
Simplificando mais:
Passo 8
Para que a igualdade seja válida, precisamos que:
Isso nos leva à seguinte equaç��o diferencial para
:
Vamos verificar se isso é verdade considerando que
.
Passo 9
Calculando
:
E a segunda derivada
:
Passo 10
Substituindo
e
na equação
:
Distribuindo:
Vemos que todos os termos se cancelam:
Isso confirma que a equação é satisfeita.
Passo 11
Como a substituição de
na equação diferencial resultou em uma igualdade válida, podemos concluir que
é realmente uma solução da equação dada.
Passo 12
Agora, precisamos verificar que
e
são soluções fundamentais. Supondo que
seja uma solução conhecida da equação, vamos utilizar o Wronskiano para verificar a independência linear.
O Wronskiano de duas funções
e
é dado por:
Se
, as soluções são linearmente independentes e, portanto, fundamentais.
Passo 13
Calculando o Wronskiano com
e uma solução
, observamos que:
Isso significa que as soluções são independentes e formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial dada.
Resposta
Portanto, demonstramos que
é uma solução da equação diferencial
e que
e
são soluções fundamentais.