Determine o intervalo de convergência das séries de potências: sumn=1^infty (x+5)^nn!

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências: . Esse problema está relacionado ao estudo de séries de potências e vamos precisar utilizar o Teste da Razão para encontrar em quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, identificamos o termo geral da série: .

Passo 3

Aplicamos o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar o raio de convergência da série. Calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Então:
an+1an = (x+5)^n+1(n+1)! cdot n!(x+5)^n = (x+5)n+1

Passo 4

Calculamos o limite quando L = limn to infty |x+5|n+1 = 0 tende ao infinito:

Passo 5

Segundo o Teste da Razão, se , a série converge absolutamente. No nosso caso, para todo valor de , o que significa que a série converge para todos os números reais.

Resposta

O intervalo de convergência da série é , ou seja, todos os números reais.

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