A equação diferencial
y'' + 2y = 0, y(0) = 1, y'(0) = -raiz(6)
determina a posição de um bloco em MHS tomando como referência a posição de equilíbrio.
(b) Depois de quanto tempo a mola se contrai completamente pela primeira vez?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial que descreve a posição de um bloco em um Movimento Harmônico Simples (MHS). A equação é:
Vamos precisar usar equações diferenciais e conhecimentos sobre movimento harmônico simples para resolver e descobrir depois de quanto tempo a mola se contrai completamente pela primeira vez.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial. A equação dada é:
Isso é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação tem a forma:
Onde é a frequência angular. Comparando com a nossa equação, vemos que:
Então, nossa solução fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Primeiro, usamos :
Então, .
Depois, usamos . Primeiro, vamos derivar :
Aplicando :
Resolvendo para :
Então, nossa solução completa é:

Passo 4

Agora, queremos encontrar quando a mola se contrai completamente pela primeira vez, ou seja, quando a posição atinge seu valor mínimo pela primeira vez.
Para isso, vamos encontrar quando a derivada é zero, indicando um ponto de máximo ou mínimo.
Dividindo ambos os lados por :
Rearranjando:
Dividindo ambos os lados por :
Resolvendo para :
A primeira solução positiva ocorre quando :
Então:

Resposta

A mola se contrai completamente pela primeira vez após segundos.

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