A equação diferencial
determina a posição de um bloco em MHS tomando como referência a posição de equilíbrio.
(b) Depois de quanto tempo a mola se contrai completamente pela primeira vez?
(b) Depois de quanto tempo a mola se contrai completamente pela primeira vez?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial que descreve a posição de um bloco em um Movimento Harmônico Simples (MHS). A equação é:
Vamos precisar usar equações diferenciais e conhecimentos sobre movimento harmônico simples para resolver e descobrir depois de quanto tempo a mola se contrai completamente pela primeira vez.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial. A equação dada é:
Isso é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação tem a forma:
Onde
é a frequência angular. Comparando com a nossa equação, vemos que:
Então, nossa solução fica:
Passo 3
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeiro, usamos
:
Então,
.
Depois, usamos
. Primeiro, vamos derivar
:
Aplicando
:
Resolvendo para
:
Então, nossa solução completa é:
Passo 4
Agora, queremos encontrar quando a mola se contrai completamente pela primeira vez, ou seja, quando a posição
atinge seu valor mínimo pela primeira vez.
Para isso, vamos encontrar quando a derivada
é zero, indicando um ponto de máximo ou mínimo.
Dividindo ambos os lados por
:
Rearranjando:
Dividindo ambos os lados por
:
Resolvendo para
:
A primeira solução positiva ocorre quando
:
Então:
Resposta
A mola se contrai completamente pela primeira vez após
segundos.