Considere a equação diferencial
(x+3) y^prime prime+(x+2) y^prime-y=0
(b) Encontre uma solução da equação diferencial que seja uma função de 1^circ grau.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
(x+3) y'' + (x+2) y' - y = 0
A parte (b) quer que a gente encontre uma solução que seja uma função de primeiro grau, ou seja, uma função linear do tipo y = ax + b. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e substituir essa forma na equação para encontrar os valores de a e b que funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que nossa solução tem a forma y = ax + b, onde a e b são constantes que precisamos descobrir.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de y:
  • A primeira derivada de y em relação a x é:
y' = dydx = a
  • A segunda derivada de y em relação a x é:
y'' = d^2ydx^2 = 0
Isso porque a derivada de uma constante ( a) é zero.

Passo 4

Agora, vamos substituir y, y' e y'' na equação diferencial original:
(x+3)(0) + (x+2)(a) - (ax + b) = 0
Simplificando:
0 + a(x + 2) - ax - b = 0
a x + 2a - a x - b = 0

Passo 5

Perceba que os termos a x se cancelam:
2a - b = 0
Isso nos dá uma relação entre a e b:
2a = b

Passo 6

Podemos escolher um valor para a e encontrar b. Para simplificar, vamos escolher a = 1. Então:
b = 2 times 1 = 2

Resposta

Uma solução da equação diferencial que é uma função de primeiro grau é:
y = x + 2

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