Considere a equação diferencial
(b) Encontre uma solução da equação diferencial que seja uma função de
grau.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
A parte (b) quer que a gente encontre uma solução que seja uma função de primeiro grau, ou seja, uma função linear do tipo
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e substituir essa forma na equação para encontrar os valores de
e
que funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que nossa solução tem a forma
, onde
e
são constantes que precisamos descobrir.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
- A primeira derivada de
em relação a é:
- A segunda derivada de
em relação a é:
Isso porque a derivada de uma constante (
) é zero.
Passo 4
Agora, vamos substituir
,
e
na equação diferencial original:
Simplificando:
Passo 5
Perceba que os termos
se cancelam:
Isso nos dá uma relação entre
e
:
Passo 6
Podemos escolher um valor para
e encontrar
. Para simplificar, vamos escolher
. Então:
Resposta
Uma solução da equação diferencial que é uma função de primeiro grau é: