Sejam e se . Mostre que não é integrável em . [Dica: mostre que o primeiro termo na soma de Riemann, , pode ser tornado arbitrariamente grande.]
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para mostrar que f não é integrável (no sentido de Riemann) em [0,1]. Para isso, vamos usar a definição de soma de Riemann: dado um intervalo [0,1], uma partição
P:0=x0<x1<cdots<xn=1
e escolha de pontos (tags) xi^*in[xi-1,xi], a soma de Riemann é
R(f,P,xi^*)=sumi=1^n f(xi^*),(xi-xi-1)
Uma função só é Riemann–integrável se todas essas somas, ao refinarmos a partição, tenderem a um mesmo valor finito. Vamos mostrar que mesmo no primeiro termo dessa soma podemos fazê-la crescer sem limite, impedindo qualquer convergência.
Passo 2
Observe que em qualquer partição P o primeiro subintervalo é [x0,x1]=[0,x1] e seu comprimento é De<a x1=x1-0=x1>0. Como f(x)=1/x em (0,1], temos
supxin[0,x1]f(x) =sup0<x<= x11x =+infty
Ou seja, f é não limitada no primeiro subintervalo perto de zero.
Passo 3
Isso significa que, mesmo fixando De<a x1, podemos escolher o tag x1^* tão próximo de 0 quanto quisermos. Concretamente, dado um número natural n, tome
x1^*=x1n,
que pertence a (0,x1]. Então
f(x1^*)=1x1^*=nx1,
e o primeiro termo da soma de Riemann fica
f(x1^*),De<a x1 =nx1,x1 =n
Passo 4
Como n pode ser arbitrariamente grande, concluímos que, para qualquer M>0, existe escolha de tag x1^* tal que
f(x1^*),De<a x1> M
Portanto as somas de Riemann não se mantêm num mesmo valor nem num conjunto limitado quando refinamos a partição — basta escolher o tag do primeiro intervalo bem perto de zero para explodir a soma.
Resposta
A função f não é integrável em [0,1], pois suas somas de Riemann podem ser feitas arbitrariamente grandes.