Considere a equação diferencial
, para
.
Mostre que
, para
fixo, é solução geral da equação diferencial.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
, onde
é um número positivo. Nosso objetivo é mostrar que a solução geral dessa equação é , onde
e
são constantes e
é um número real fixo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e as funções hiperbólicas
e .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes tem a forma
. No nosso caso, temos
e
, então a equação fica
. Para resolver essa equação, buscamos soluções do tipo exponencial:
, onde
é um número que vamos determinar.
Passo 3
Substituindo
na equação diferencial, temos:
Fatorando
(que nunca é zero), a equação fica:
Isso nos dá a equação característica:
Passo 4
Como as raízes
e
são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear dessas soluções exponenciais:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos relacionar essa solução com as funções hiperbólicas. Sabemos que:
Podemos reescrever
em termos dessas funções:
Agrupando os termos:
Podemos redefinir as constantes
e
como novas constantes, já que são arbitrárias, e também considerar um deslocamento no tempo
para generalizar a solução.
Resposta
Portanto, a solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são constantes e
é um número real fixo.