Considere a equação diferencial y'' - ω² y = 0, para omega > 0.
Mostre que y(t) = c1 * cosh(ω(t-a)) + c2 * senh(ω(t-a)), para a in R fixo, é solução geral da equação diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo , onde é um número positivo. Nosso objetivo é mostrar que a solução geral dessa equação é , onde e são constantes e é um número real fixo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e as funções hiperbólicas e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes tem a forma . No nosso caso, temos e , então a equação fica . Para resolver essa equação, buscamos soluções do tipo exponencial: , onde é um número que vamos determinar.

Passo 3

Substituindo na equação diferencial, temos:
Fatorando (que nunca é zero), a equação fica:
Isso nos dá a equação característica:

Passo 4

Como as raízes e são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear dessas soluções exponenciais:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos relacionar essa solução com as funções hiperbólicas. Sabemos que:
Podemos reescrever em termos dessas funções:
Agrupando os termos:
Podemos redefinir as constantes e como novas constantes, já que são arbitrárias, e também considerar um deslocamento no tempo para generalizar a solução.

Resposta

Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes e é um número real fixo.

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