Use o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução da EDO dada:
y'' - 4y' + 4y = 2e^(2x). Resposta: y_p = x^2 e^(2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de variação de parâmetros. A matéria aqui envolve equações diferenciais ordinárias de segunda ordem e, mais especificamente, o método de variação de parâmetros para encontrar soluções particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Isso nos dá a solução complementar, que é a base para encontrar a solução geral.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Temos uma raiz dupla , então a solução complementar é:
onde e são constantes.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a solução particular usando o método de variação de parâmetros. Sabemos que a forma geral para quando a função do lado direito é é:
onde e são funções que vamos determinar.

Passo 5

Derivamos para encontrar e :

Passo 6

Substituímos , e na equação original e igualamos os coeficientes de para encontrar e . Após realizar as integrações necessárias, encontramos que:
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução particular da equação diferencial é:

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