Use o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução da EDO dada:
. Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial
usando o método de variação de parâmetros. A matéria aqui envolve equações diferenciais ordinárias de segunda ordem e, mais especificamente, o método de variação de parâmetros para encontrar soluções particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Isso nos dá a solução complementar, que é a base para encontrar a solução geral.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Temos uma raiz dupla
, então a solução complementar é:
onde
e
são constantes.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a solução particular
usando o método de variação de parâmetros. Sabemos que a forma geral para
quando a função do lado direito é
é:
onde
e
são funções que vamos determinar.
Passo 5
Derivamos
para encontrar
e
:
Passo 6
Substituímos
,
e
na equação original e igualamos os coeficientes de
para encontrar
e
. Após realizar as integrações necessárias, encontramos que:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução particular da equação diferencial é: