Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função
e nos pede para verificar se a afirmação "
" é verdadeira ou falsa. Vamos usar conhecimentos de derivadas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Essa notação representa a terceira derivada de
avaliada em
. Ou seja, precisamos encontrar a terceira derivada da função e ver qual é o valor dela quando
é igual a zero.
Passo 3
Vamos lembrar que, para uma função em série de potências da forma:
a
-ésima derivada de
avaliada em zero,
, é dada por:
Aqui,
é o fatorial de
e
é o coeficiente de
na série.
Passo 4
No nosso caso, a função é:
Comparando com a forma geral da série, podemos identificar os coeficientes:
Passo 5
Queremos encontrar
, que é a terceira derivada avaliada em zero. Usando a fórmula que vimos:
Sabemos que
e
.
Passo 6
Agora é só calcular:
Resposta
A afirmação é verdadeira.
.