Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se f(x) = 2 x - x^2 + 1 / 3 x^3 - ..., então f''' 0 = 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função e nos pede para verificar se a afirmação " " é verdadeira ou falsa. Vamos usar conhecimentos de derivadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Essa notação representa a terceira derivada de avaliada em . Ou seja, precisamos encontrar a terceira derivada da função e ver qual é o valor dela quando é igual a zero.

Passo 3

Vamos lembrar que, para uma função em série de potências da forma:
a -ésima derivada de avaliada em zero, , é dada por:
Aqui, é o fatorial de e é o coeficiente de na série.

Passo 4

No nosso caso, a função é:
Comparando com a forma geral da série, podemos identificar os coeficientes:

Passo 5

Queremos encontrar , que é a terceira derivada avaliada em zero. Usando a fórmula que vimos:
Sabemos que e .

Passo 6

Agora é só calcular:

Resposta

A afirmação é verdadeira. .

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