Encontre o raio de convergéncia e o intervalo de convergéncia da série
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
.
Matéria envolvida: Séries de potências, testes de convergência (como o teste da razão e o teste da raiz).
O que vamos precisar: Saber aplicar o teste da raiz ou o teste da razão para determinar o raio de convergência, e então descobrir o intervalo de convergência com base nisso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a série de potências que temos aqui. A série geral é:
Aqui, os termos da série são da forma
. Para encontrar o raio de convergência, podemos usar o teste da raiz ou o teste da razão. Vou usar o teste da raiz aqui.
Passo 3
O teste da raiz diz que o raio de convergência
de uma série de potências
pode ser encontrado usando:
No nosso caso, a série não está explicitamente em termos de
, mas podemos considerá-la como
onde
, já que não há variável presente. Mas para encontrar o raio de convergência, vamos tratar
como parte da base
.
Passo 4
Vamos aplicar o teste da raiz aos coeficientes
:
Sabemos que
, então:
Portanto:
Passo 5
Agora que encontramos o raio de convergência
, precisamos determinar o intervalo de convergência. Em séries de potências, o intervalo é geralmente
, onde
é o centro da série. No nosso caso, assumimos que o centro
.
Então, o intervalo de convergência seria:
Resposta
O raio de convergência da série é
e o intervalo de convergência é
.