Encontre o raio de convergéncia e o intervalo de convergéncia da série sumn=1^infty(-1)^n 3^nn^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série .
Matéria envolvida: Séries de potências, testes de convergência (como o teste da razão e o teste da raiz).
O que vamos precisar: Saber aplicar o teste da raiz ou o teste da razão para determinar o raio de convergência, e então descobrir o intervalo de convergência com base nisso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a série de potências que temos aqui. A série geral é:
sumn=1^infty (-1)^n 3^nn^2
Aqui, os termos da série são da forma . Para encontrar o raio de convergência, podemos usar o teste da raiz ou o teste da razão. Vou usar o teste da raiz aqui.

Passo 3

O teste da raiz diz que o raio de convergência 1R = limsupn to infty |an|^1/n de uma série de potências pode ser encontrado usando:
No nosso caso, a série não está explicitamente em termos de , mas podemos considerá-la como onde , já que não há variável presente. Mas para encontrar o raio de convergência, vamos tratar como parte da base .

Passo 4

Vamos aplicar o teste da raiz aos coeficientes limsupn to infty |an|^1/n = limsupn to infty (3^nn^2)^1/n = limsupn to infty 3n^2/n :
limsupn to infty 3n^2/n = 3
Sabemos que 1R = 3 implies R = 13 , então:
Portanto:

Passo 5

Agora que encontramos o raio de convergência ( -13, 13 ) , precisamos determinar o intervalo de convergência. Em séries de potências, o intervalo é geralmente , onde é o centro da série. No nosso caso, assumimos que o centro .
Então, o intervalo de convergência seria:

Resposta

O raio de convergência da série é e o intervalo de convergência é .

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