Use o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução da EDO dada:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois adicionar uma solução particular usando o método da variação dos parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a solução da equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é baseada nas raízes da equação característica.
Passo 3
Escrevemos a equação característica:
Resolvendo para
:
As raízes são imaginárias puras, então a solução geral da equação homogênea é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa usando o método da variação dos parâmetros. Nesse método, assumimos que os coeficientes
e
não são constantes, mas funções de
:
Passo 5
Derivamos
em relação a
:
E a segunda derivada:
Passo 6
Substituímos
e suas derivadas na equação diferencial original:
Após substituir e simplificar, obtemos um sistema de equações para
e
. Para simplificar, impomos a condição:
Passo 7
Com essa condição, encontramos:
Resolvendo esse sistema:
Passo 8
Integrando
e
:
Passo 9
Substituímos
e
na expressão de
:
Simplificando as expressões logarítmicas:
Resposta
A solução particular da equação diferencial é: