Use o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução da EDO dada:
y'' + 9y = 2 sec(3x) Resposta: y_p = 2/3 sen(3 x) + 2/9 cos(3 x) ln |cos(3 x)|

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois adicionar uma solução particular usando o método da variação dos parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a solução da equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é baseada nas raízes da equação característica.

Passo 3

Escrevemos a equação característica:
Resolvendo para :
As raízes são imaginárias puras, então a solução geral da equação homogênea é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método da variação dos parâmetros. Nesse método, assumimos que os coeficientes e não são constantes, mas funções de :

Passo 5

Derivamos em relação a :
E a segunda derivada:

Passo 6

Substituímos e suas derivadas na equação diferencial original:
Após substituir e simplificar, obtemos um sistema de equações para e . Para simplificar, impomos a condição:

Passo 7

Com essa condição, encontramos:
Resolvendo esse sistema:

Passo 8

Integrando e :

Passo 9

Substituímos e na expressão de :
Simplificando as expressões logarítmicas:

Resposta

A solução particular da equação diferencial é:

Exercícios relacionados