Considere a equação diferencial
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}-4 y=0
a) Encontre a solução geral da equação.
b) Resolva o problema de valor inicial com y(0)=5, y^{\prime}(0)=0.
c) Determine o comportamento da solução do item b) quando t \rightarrow \infty.
d) Determine o valor mínimo da solução obtida no item b), se existir.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 3y' - 4y = 0
e pede:
a) a solução geral;
b) a solução que satisfaz y(0)=5 e y'(0)=0;
c) o comportamento dessa solução quando t\to\infty;
d) o valor mínimo dessa solução, se existir.
Para resolver, vamos usar o método da equação característica para EDOs lineares homogêneas.

Passo 2

Formamos a equação característica associada, trocando y por e^{rt}:
r^2 - 3r - 4 = 0.
Resolvendo
r = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2},
obtemos as raízes r_1 = 4 e r_2 = -1. Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
y(t) = C_1 e^{4t} + C_2 e^{-t}.

Passo 3

Para o problema de valor inicial, calculamos y'(t)\): \[y'(t) = 4C_1 e^{4t} - C_2 e^{-t}.
Impondo y(0)=5 e y'(0)=0, temos o sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = 5,\\\\ 4C_1 - C_2 = 0. \end{cases}
Somando as duas equações dá 5C_1 = 5\], logo \(C_1 = 1 e daí C_2 = 4. Assim,
y(t) = e^{4t} + 4e^{-t}.

Passo 4

Para estudar y(t) quando t\to\infty, note que e^{4t}\to\infty e e^{-t}\to 0. Então
y(t) \sim e^{4t}\quad\text{quando }t\to\infty,
isto é, y(t)\to +\infty.

Passo 5

Procuramos extremos de y(t) derivando e igualando a zero:
y'(t) = 4e^{4t} - 4e^{-t} = 4\bigl(e^{4t}-e^{-t}\bigr).
A condição y'(t)=0 leva a e^{4t} = e^{-t}, ou seja 5t=0 e t=0. Para verificar mínimo, calculamos
y''(t) = 16e^{4t} + 4e^{-t},
logo y''(0) = 16 + 4 = 20>0, confirmando mínimo em t=0. O valor mínimo é
y(0) = e^0 + 4e^0 = 5.

Resposta

(a) A solução geral é
y(t) = C_1 e^{4t} + C_2 e^{-t}.
(b) Com y(0)=5, y'(0)=0, obtemos
y(t) = e^{4t} + 4e^{-t}.
(c) Quando t\to\infty, y(t)\to +\infty.
(d) O único extremo é mínimo em t=0, com valor mínimo y(0)=5.

Exercícios relacionados