Determine o maior intervalo no qual a solução do problema de valor inicial abaixo existe, sem obter a solução.
(t-2) y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}-t y=0 \quad y(1)=1, y^{\prime}(1)=2

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
(t-2)\,y''-3\,y'-t\,y=0,\quad y(1)=1,\;y'(1)=2
e pede o maior intervalo contendo t_{0}=1 em que a solução existe. O conteúdo aqui é o Teorema de Existência e Unicidade para EDOs lineares de segunda ordem: se na forma padrão
y'' + P(t)\,y' + Q(t)\,y = 0
os coeficientes P(t) e Q(t) são contínuos num intervalo aberto que contém t_{0}, então existe solução única nele.

Passo 2

Passamos para a forma padrão dividindo a EDO por t-2 (desde que t\neq2):
y'' - \frac{3}{t-2}\,y' - \frac{t}{t-2}\,y = 0.
Dessa forma identificamos
P(t) = -\frac{3}{t-2}, \quad Q(t) = -\frac{t}{t-2}.

Passo 3

Agora olhamos onde P(t) e Q(t) são contínuos. Ambos são racionais com denominador t-2, logo têm singularidade em t=2 e são contínuos em todo t\neq2.

Passo 4

O intervalo máximo conectado que contém t_{0}=1 sem incluir a singularidade t=2 é
(-\infty,2).

Resposta

(-\infty,2)

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