Considere a equação:
c) Aplique o princípio da superposição para escrever a solução geral completa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial $ y’’ + y = \cos(t) $. O conteúdo que vamos usar aqui é o princípio da superposição, que é super útil para resolver equações diferenciais lineares. Basicamente, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e também uma solução particular para a equação completa. Depois, juntamos essas duas soluções para chegar na solução geral completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é $ y’’ + y = 0 $. Para isso, a gente encontra as raízes da equação característica:
Como as raízes são imaginárias, a solução geral da equação homogênea é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa $ y’’ + y = \cos(t) $. Como o termo do lado direito é $ \cos(t) $, que já está presente na solução homogênea, precisamos multiplicar por $ t $ para achar uma solução particular diferente. Então, vamos supor que:
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que vamos determinar. Vamos derivar $ y_p(t) $ e substituir na equação original para encontrar esses valores:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo $ y_p(t) $ e $ y_p’’(t) $ na equação $ y’’ + y = \cos(t) $:
Simplificando, percebemos que os termos com $ t $ se cancelam, ficando:
Isso nos dá o sistema de equações:
Então, a solução particular é:
Passo 4
Agora, aplicando o princípio da superposição, que diz que a solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular, temos:
Resposta
A solução geral completa da equação $ y’’ + y = \cos(t) $ é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.