Considere a equação diferencial y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-2 y=0 \operatorname{com} y(0)=0, y^{\prime}(0)=0 e y^{\prime \prime}(0)=1. Calcule y(\pi).

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial linear de ordem três
y''' + y'' - 2y = 0
com condições iniciais
y(0)=0,\quad y'(0)=0,\quad y''(0)=1.
O método para resolver é: (1) achar as raízes da equação característica, (2) montar a solução geral, e (3) usar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

A equação característica é
r^3 + r^2 -2 = 0.
Testando r=1 vemos que 1+1-2=0, logo r_1=1. Fazendo a divisão polinomial, ficam as raízes do fator quadrático
r^2 + 2r +2=0\;\Longrightarrow\;r_{2,3}=-1\pm i.
Assim a solução geral é
y(x)=C_1e^x \;+\;e^{-x}\bigl(C_2\cos x + C_3\sin x\bigr).

Passo 3

Avaliaremos as condições iniciais. Em x=0 temos
y(0)=C_1 +\bigl(C_2\cdot1 + C_3\cdot0\bigr)=C_1 + C_2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad C_2=-C_1.

Passo 4

Derivando
y'(x)=C_1e^x + e^{-x}\bigl[-C_2(\sin x+\cos x)+C_3(\cos x-\sin x)\bigr],
então em x=0
y'(0)=C_1 +\bigl[-C_2\cdot1 + C_3\cdot1\bigr] = C_1 - C_2 + C_3 = 0.
Substituindo C_2=-C_1 fica
2C_1 + C_3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad C_3 = -2C_1.

Passo 5

Derivando de novo
y''(x)=C_1e^x + e^{-x}\bigl[2C_2\sin x-2C_3\cos x\bigr],
e em x=0
y''(0)=C_1 +\bigl[2C_2\cdot0 - 2C_3\cdot1\bigr] = C_1 - 2C_3 = 1.
Substituindo C_3=-2C_1
C_1 - 2(-2C_1) = C_1 +4C_1 =5C_1 =1 \quad\Longrightarrow\quad C_1=\frac15.

Passo 6

Com C_1=\tfrac15 temos
C_2 = -\tfrac15, \quad C_3 = -2\,\tfrac15 = -\tfrac25.
Logo a solução particular é
y(x)=\frac15e^x \;-\;\frac15e^{-x}\cos x \;-\;\frac25e^{-x}\sin x.

Passo 7

Para x=\pi usa-se \cos\pi=-1 e \sin\pi=0:
y(\pi) =\frac15e^{\pi} -\frac15e^{-\pi}(\!-1) -\frac25e^{-\pi}\cdot0 =\frac{e^{\pi}+e^{-\pi}}{5} =\frac{2}{5}\operatorname{cosh}(\pi).

Resposta

y(\pi)=\frac{e^{\pi}+e^{-\pi}}{5}=\frac{2}{5}\operatorname{cosh}(\pi).

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