Considere a seguinte EDO
y^{(9)}-8 y^{8}+26 y^{7}-50 y^{6}+72 y^{5}-82 y^{4}+70 y^{\prime \prime \prime}-46 y^{\prime \prime}+23 y^{\prime}-6 y=0 .
Sabendo que seu polinômio característico é dado por
P(r)=(r-2)(r+3)(r-1)^{3}(r-i)^{2}(r+i)^{2}
determine a solução geral da EDO.

Passo 1

Temos uma EDO linear homogênea de 9º ordem com coeficientes constantes. O conteúdo aqui é “solução geral de EDO com coeficientes constantes” e vamos precisar dos raízes e suas multiplicidades do polinômio característico para montar a combinação linear de expoentes e polinômios em x.

Passo 2

O polinômio característico dado é
P(r)=(r-2)(r+3)(r-1)^{3}(r-i)^{2}(r+i)^{2}.
Logo as raízes e multiplicidades são:
\bullet r=2, multiplicidade 1\bullet r=-3, multiplicidade 1\bullet r=1, multiplicidade 3\bullet r=i, multiplicidade 2\bullet r=-i, multiplicidade 2

Passo 3

Para cada raiz real r_0 de multiplicidade m a contribuição é
e^{r_0 x},\;x e^{r_0 x},\;\dots,\;x^{m-1}e^{r_0 x}.
Assim:
– De r=2 vem e^{2x}.
– De r=-3 vem e^{-3x}.
– De r=1 (multiplicidade 3) vêm
e^{x},\;x e^{x},\;x^{2}e^{x}.

Passo 4

Para raízes complexas conjugadas \alpha\pm i\beta de multiplicidade m, usa-se
e^{\alpha x}\bigl[P_{m-1}(x)\cos(\beta x)+Q_{m-1}(x)\sin(\beta x)\bigr],
onde P_{m-1} e Q_{m-1} são polinômios de grau m-1. Aqui \alpha=0, \beta=1 e m=2, logo
P_{1}(x)=A+Bx,\quad Q_{1}(x)=C+Dx
e a contribuição é
(A+Bx)\cos x+(C+Dx)\sin x.

Passo 5

Somando todas as contribuições obtemos a solução geral com nove constantes arbitrárias C_1,\dots,C_9:
y(x) = C_{1}e^{2x} + C_{2}e^{-3x} + \bigl(C_{3}+C_{4}x+C_{5}x^{2}\bigr)e^{x} + \bigl(C_{6}+C_{7}x\bigr)\cos x + \bigl(C_{8}+C_{9}x\bigr)\sin x.

Resposta

y(x) = C_{1}e^{2x} + C_{2}e^{-3x} + \bigl(C_{3}+C_{4}x+C_{5}x^{2}\bigr)e^{x} + \bigl(C_{6}+C_{7}x\bigr)\cos x + \bigl(C_{8}+C_{9}x\bigr)\sin x.

Exercícios relacionados