Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
O método consiste em assumir uma solução do tipo
, o que leva à chamada equação característica em
.
Passo 2
Supondo
, temos
Substituindo na EDO obtemos a equação em
:
e, como
,
Passo 3
Fatorando o polinômio característico:
Isso dá as raízes
(multiplicidade 1)
(multiplicidade 2).
Passo 4
Pela teoria de EDOs lineares, cada raiz simples
gera a solução
e cada raiz dupla
gera duas soluções independentes
e
. Assim, as soluções fundamentais são
,
e
.
A combinação linear geral é
e
A combinação linear geral é
com
constantes arbitrárias.