Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas:
y^{\prime \prime \prime}+6 y^{\prime \prime}+9 y^{\prime}=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' + 6y'' + 9y' = 0.
O método consiste em assumir uma solução do tipo y=e^{rx}, o que leva à chamada equação característica em r.

Passo 2

Supondo y=e^{rx}, temos
y' = r e^{rx},\quad y'' = r^2 e^{rx},\quad y''' = r^3 e^{rx}.
Substituindo na EDO obtemos a equação em r:
r^3 e^{rx} + 6r^2 e^{rx} + 9r e^{rx} = 0
e, como e^{rx}\neq0,
r^3 + 6r^2 + 9r = 0.

Passo 3

Fatorando o polinômio característico:
r^3 + 6r^2 + 9r = r\,(r^2 + 6r + 9) = r\,(r+3)^2 = 0.
Isso dá as raízes
\;r_1 = 0 (multiplicidade 1)
\;r_2 = -3 (multiplicidade 2).

Passo 4

Pela teoria de EDOs lineares, cada raiz simples r_1 gera a solução e^{r_1 x} e cada raiz dupla r_2 gera duas soluções independentes e^{r_2 x} e x e^{r_2 x}. Assim, as soluções fundamentais são
\;e^{0\cdot x}=1,
\;e^{-3x}
e
\;x e^{-3x}.
A combinação linear geral é
y(x) = C_1\cdot 1 + C_2 e^{-3x} + C_3\,x e^{-3x},
com C_1,C_2,C_3 constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_1 + C_2 e^{-3x} + C_3 x e^{-3x}.

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