Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
O método padrão para esse tipo de ODE é assumir uma solução da forma
e obter a equação característica em
.
Passo 2
Substituindo
em
temos
Como
, a equação característica é
Passo 3
Fatorando
em
vemos as raízes:
-
. - As raízes de
são
Passo 4
Cada raiz gera um termo na solução geral:
- Para
, obtemos a solução constante . - Para
, escrevemos o par complexo em termos de exponencial real mais oscilações:
Somando tudo, chegamos à solução geral.
Resposta
A solução geral é
onde
são constantes arbitrárias.