Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas:
y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}+y^{\prime}=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' + y'' + y' = 0.
O método padrão para esse tipo de ODE é assumir uma solução da forma y=e^{r x} e obter a equação característica em r.

Passo 2

Substituindo y=e^{r x} em \,y''' + y'' + y' = 0 temos
r^3 e^{r x} + r^2 e^{r x} + r e^{r x} = 0
Como e^{r x}\neq0, a equação característica é
r^3 + r^2 + r = 0.

Passo 3

Fatorando r em
r^3 + r^2 + r = r\,(r^2 + r + 1) = 0,
vemos as raízes:
  1. r=0.
  2. As raízes de r^2+r+1=0 são
r = \frac{-1 \pm \sqrt{1-4}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Cada raiz gera um termo na solução geral:
  • Para r=0, obtemos a solução constante C_1.
  • Para r = -\tfrac12 \pm i\,\tfrac{\sqrt{3}}{2}, escrevemos o par complexo em termos de exponencial real mais oscilações:
e^{-\tfrac12 x}\Big(C_2\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)+C_3\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)\Big).
Somando tudo, chegamos à solução geral.

Resposta

A solução geral é
y(x) = C_{1} \;+\; e^{-\tfrac12 x}\Bigl(C_{2}\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\bigr)+C_{3}\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\bigr)\Bigr),
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

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