Considere a equação diferencial
.
Determine a solução do tipo em (a) que satisfaz
. Qual o maior intervalo no qual essa solução é válida?
Determine a solução do tipo em (a) que satisfaz
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a equação diferencial do tipo separável
e queremos a solução que satisfaz
. Vamos usar o método de separação de variáveis.
Passo 2
Reescrevendo
como
, separamos as variáveis:
Passo 3
Agora integramos ambos os lados:
Passo 4
Isso dá
ou, reorganizando,
Passo 5
Usando a condição inicial
, substituímos
e
:
Passo 6
Substituindo de volta:
Passo 7
Como
, escolhemos o ramo positivo e obtemos
Passo 8
Para garantir que a raiz seja real, precisamos de
, ou seja
. O maior intervalo que contém o ponto inicial
é
.
Resposta
A solução é
e o maior intervalo de validade é
.