Considere a equação diferencial y^prime+y^3=0.
Determine a solução do tipo em (a) que satisfaz y(1)=2. Qual o maior intervalo no qual essa solução é válida?

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a equação diferencial do tipo separável y'+y^3=0 e queremos a solução que satisfaz y(1)=2. Vamos usar o método de separação de variáveis.

Passo 2

Reescrevendo y'+y^3=0 como dydx=-y^3, separamos as variáveis:
dyy^3 = -,dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral y^-3,dy = -integral dx

Passo 4

Isso dá
-12y^2 = -x + C
ou, reorganizando,
12y^2 = x + C'

Passo 5

Usando a condição inicial y(1)=2, substituímos x=1 e y=2:
12cdot 2^2 = 1 + C' implies 18 = 1 + C' implies C' = -78

Passo 6

Substituindo de volta:
12y^2 = x - 78 implies y^2 = 12l(x - tfrac78r)

Passo 7

Como y(1)=2>0, escolhemos o ramo positivo e obtemos
y(x) = 1raiz2l(x-tfrac78r)

Passo 8

Para garantir que a raiz seja real, precisamos de x-tfrac78>0, ou seja x>7/8. O maior intervalo que contém o ponto inicial x=1 é
l(tfrac78,inftyr).

Resposta

A solução é y(x)=1raiz2l(x-tfrac78r) e o maior intervalo de validade é l(tfrac78,inftyr).

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