Se
é um sólido não homogêneo com densidade em cada ponto dada por
, então os momentos de inércia em torno dos eixos coordenados são definidos por:
e
Determine o momento de inércia em relação ao seu eixo de um cilindro circular reto de altura
e raio
, se a densidade em um ponto
do cilindro é
.
R.:
.
Determine o momento de inércia em relação ao seu eixo de um cilindro circular reto de altura
R.:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o momento de inércia de um cilindro circular reto em relação ao seu eixo. O cilindro tem altura $ h $ e raio $ R $. A densidade em cada ponto
do cilindro é dada por $ f(x, y, z) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrando a densidade multiplicada pelas distâncias ao eixo de rotação.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o momento de inércia em relação ao eixo $ z $ (que é o eixo do cilindro) é dado por:
Aqui, $ (x^{2} + y^{2}) $ representa a distância ao eixo $ z $ ao quadrado.
Passo 3
Como o cilindro é simétrico, fica mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume $ dV $ é:
Passo 4
Substituindo a densidade $ f(x, y, z) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = r $ na expressão do momento de inércia:
Simplificando, temos:
Passo 5
Vamos integrar passo a passo. Primeiro, integramos em relação a $ r $:
Passo 6
Agora, integramos em relação a $ \theta $:
Passo 7
Por último, integramos em relação a $ z $:
Resposta
O momento de inércia em relação ao eixo do cilindro é $ \frac{2 \pi h R^{5}}{5} $.