Se S é um sólido não homogêneo com densidade em cada ponto dada por w=f(x, y, z), então os momentos de inércia em torno dos eixos coordenados são definidos por:
Ix=integral triplaS(y^2+z^2) f(x, y, z) d x d y d z, Iy=integral triplaS(x^2+z^2) f(x, y, z) d x d y d z e Iz=integral triplaS(x^2+y^2) f(x, y, z) d x d y d z
Determine o momento de inércia em relação ao seu eixo de um cilindro circular reto de altura h e raio R, se a densidade em um ponto (x, y, z) do cilindro é f(x, y, z)=raizx^2+y^2.
R.: 2 pi h R^53.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o momento de inércia de um cilindro circular reto em relação ao seu eixo. O cilindro tem altura $ h $ e raio $ R $. A densidade em cada ponto h do cilindro é dada por $ f(x, y, z) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrando a densidade multiplicada pelas distâncias ao eixo de rotação.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o momento de inércia em relação ao eixo $ z $ (que é o eixo do cilindro) é dado por:
z
Aqui, $ (x^{2} + y^{2}) $ representa a distância ao eixo $ z $ ao quadrado.

Passo 3

Como o cilindro é simétrico, fica mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
E o elemento de volume $ dV $ é:
dV

Passo 4

Substituindo a densidade $ f(x, y, z) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = r $ na expressão do momento de inércia:
f(x, y, z) = raizx^2 + y^2 = r
Simplificando, temos:
Iz = integral triplaS r^2 cdot r cdot r , dr , dtheta , dz = integral triplaS r^4 , dr , dtheta , dz

Passo 5

Vamos integrar passo a passo. Primeiro, integramos em relação a $ r $:
r

Passo 6

Agora, integramos em relação a $ \theta $:
theta

Passo 7

Por último, integramos em relação a $ z $:
z

Resposta

O momento de inércia em relação ao eixo do cilindro é $ \frac{2 \pi h R^{5}}{5} $.

Exercícios relacionados