Nos Problemas 11.15 a 11.26, determine a forma de uma solução particular de L(y)=phi(x) para phi(x) dada, se a solução da equação homogênea associada L(y)=0 for yh=c1e^2x+c2e^3x.
phi(x)=xcos3x

Passo 1

Temos a equação não homogênea L(y)=phi(x) com phi(x)=xcos3x e a solução da homogênea é yh=c1e^2x+c2e^3x. O conteúdo aqui é o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular yp.

Passo 2

Como phi(x) é um polinômio de grau 1 (ou seja, x) multiplicado por cos3x, o ansatz padrão é uma combinação de polinômios de mesmo grau modulando cos3x e sin3x. Ou seja, tentamos
yp=(Ax+B)cos3x+(Cx+D)sin3x

Passo 3

Precisamos verificar se há ressonância: isso ocorreria se pm3i fosse raiz da equação característica associada. Como as raízes reais são 2 e 3, não há nenhuma raiz imaginária pm3i, logo não é preciso multiplicar o ansatz por nenhum fator extra em x. Portanto, a forma geral de uma solução particular para phi(x)=xcos3x é
yp=(Ax+B)cos3x+(Cx+D)sin3x

Passo 4

Os coeficientes A,B,C,D seriam determinados substituindo yp em L(y)=xcos3x e igualando termos, mas como a questão pede apenas a forma do ansatz, paramos aqui.

Resposta

yp=(Ax+B)cos3x+(Cx+D)sin3x

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