Considere a equação diferencial y^prime+y^3=0.
Mostre que yc=1raiz2(t-c) é uma solução dessa equação, qualquer que seja c in R.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função yc(t)=1raiz2(t-c) satisfaz a equação diferencial de primeira ordem y'+y^3=0. Vamos usar derivação de potências e regra da cadeia para calcular y' e depois mostrar que y'+y^3=0.

Passo 2

Começamos calculando a derivada de yc(t). Escrevendo yc(t)=[2(t-c)]^-1/2, aplicamos a regra da cadeia:
yc'(t)=-tfrac12l[2(t-c)r]^-3/2cdot(2)=-l[2(t-c)r]^-3/2= -1[2(t-c)]^3/2

Passo 3

Agora calculamos yc^3:
yc^3(t)=l[2(t-c)r]^-3/2=1[2(t-c)]^3/2

Passo 4

Substituindo na equação y'+y^3 temos:
yc'(t)+yc^3(t)=-1[2(t-c)]^3/2+1[2(t-c)]^3/2=0

Passo 5

Como a soma é identicamente zero, concluímos que yc(t) satisfaz a equação diferencial y'+y^3=0 para todo cin R.

Resposta

A função yc(t)=1raiz2(t-c) satisfaz y'+y^3=0 para qualquer cin R.

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