Considere a equação diofantina 12 x+7 y=3 e responda:
Encontre a solução geral dela.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diofantina 12x+7y=3. Esse é um caso de equação linear diofantina de duas variáveis. Para resolvê-la, vamos usar o cálculo do máximo divisor comum ( gcd) e o algoritmo de Euclides estendido para encontrar uma solução particular e depois a expressão geral.

Passo 2

Calcular gcd(12,7) via algoritmo de Euclides:
12 = 7cdot1 + 5,
7 = 5cdot1 + 2,
5 = 2cdot2 + 1,
2 = 1cdot2 + 0
Logo gcd(12,7)=1, que divide 3. Portanto, existe solução.

Passo 3

Aplicar o algoritmo de Euclides estendido para achar u,v tais que 12u+7v=1. Reconstituindo as subtrações:
1 = 5 - 2cdot2,
2 = 7 - 5cdot1,
5 = 12 - 7cdot1
Substituindo em cascata:
1 = 5 - 2(7 - 5) = 3cdot5 - 2cdot7 = 3(12 - 7) - 2cdot7 = 3cdot12 - 5cdot7
Logo uma combinação é u=3, v=-5, pois 12cdot3 + 7cdot(-5)=1.

Passo 4

Multiplicando essa combinação por 3 para resolver 12x + 7y = 3, obtemos a solução particular
x0 = 3cdot3 = 9, y0 = 3cdot(-5) = -15

Passo 5

A solução geral da equação ax + by = c com gcd(a,b)=d é
x = x0 + bd,t, y = y0 - ad,t, tinZ
Aqui a=12, b=7, d=1, logo
x = 9 + 7t, y = -15 - 12t, tinZ

Resposta

x = 9 + 7t, y = -15 - 12t, tinZ

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