Considere a equação diofantina 12 x+7 y=3 e responda:
Ela possui solução? Por quê?

Passo 1

Temos a equação diofantina linear
12x + 7y = 3,
e queremos saber se existem inteiros x e y que a satisfaçam. Para isso, vamos usar o fato clássico de que tal equação tem solução inteira se, e somente se, o gcd dos coeficientes divide o termo independente.

Passo 2

Calculemos o máximo divisor comum de 12 e 7 usando o Algoritmo de Euclides:
12 = 1cdot7 + 5,
7 = 1cdot5 + 2,
5 = 2cdot2 + 1,
2 = 2cdot1 + 0
Daí vem
gcd(12,7) = 1

Passo 3

Pelo teorema das equações diofantinas, existe solução inteira de
12x + 7y = 3
se, e somente se, gcd(12,7) divide 3. Como gcd(12,7)=1 e 1 divide qualquer inteiro, em particular 3, concluímos que solução inteira.

Passo 4

Para ilustrar, basta encontrar uma solução particular. Como 12cdot2 + 7cdot(-3) = 24 - 21 = 3, um par de inteiros que funciona é
(x0,y0) = (2,,-3)
Daí a solução geral é
x = 2 + 7t, y = -3 - 12t, tinZ

Resposta

Sim, existe solução porque gcd(12,7)=1 divide 3.

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