Considere a equação diofantina 12 x+7 y=3 e responda:
Encontre uma solução particular para ela.

Passo 1

O enunciado pede uma solução inteira particular da equação diofantina
12x + 7y = 3
O conteúdo é equações diofantinas lineares com dois coeficientes coprimos. Para resolver, vamos usar o Algoritmo de Euclides estendido para encontrar inteiros a,b tais que gcd(12,7)=1=12a+7b e, em seguida, multiplicar por 3.

Passo 2

Aplicando o Algoritmo de Euclides estendido para gcd(12,7):
12 = 1cdot7 + 5,
7 = 1cdot5 + 2,
5 = 2cdot2 + 1,
2 = 2cdot1 + 0
Retro-substituindo para achar 1 como combinação linear de 12 e 7:
1 = 5 - 2cdot2,
2 = 7 - 1cdot5 Longrightarrow 1 = 5 - 2,(7-5) = 3cdot5 - 2cdot7,
5 = 12 - 1cdot7 Longrightarrow 1 = 3,(12-7) - 2cdot7 = 3cdot12 - 5cdot7
Logo
1 = 12cdot3 + 7cdot(-5)
Multiplicando essa identidade por 3, obtemos
3 = 12cdot9 + 7cdot(-15)
Isso mostra que
(x0,y0) = (9,,-15)
é uma solução inteira da equação. Para achar valores menores, usamos a forma geral
x = 9 + 7t, y = -15 - 12t,
escolhendo t=-2, vem
x = 9 - 14 = -5, y = -15 + 24 = 9

Resposta

Uma solução particular é
(x,y)=(-5,;9)

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