Prove por indução que:
8 divide
para todo inteiro
.
8 divide
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução em
, que
8 divide
8 divide
para todo inteiro
. O conteúdo é o princípio da indução matemática, que exige verificar o caso-base e o passo indutivo.
Passo 2
Caso-base (
):
Logo, 8 divide
, isto é, o caso-base está confirmado.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que para algum
valha
para certo inteiro
. Isto é a nossa hipótese de indução.
Passo 4
Passo indutivo (
): devemos mostrar que
também é múltiplo de 8. Começamos manipulando a expressão:
Pela hipótese de indução,
, então
que é divisível por 8. Além disso,
também é divisível por 8. Como a diferença de dois múltiplos de 8 continua sendo múltiplo de 8, concluímos que
é divisível por 8.
Passo 5
Pelo princípio da indução matemática, a propriedade vale para todo inteiro
.
Resposta
Para todo inteiro
, o número
é divisível por 8.