Prove por indução que:
8 divide (3^2 n+7) para todo inteiro n >= 1.

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução em n, que
8 divide
3^2n + 7
para todo inteiro n >= 1. O conteúdo é o princípio da indução matemática, que exige verificar o caso-base e o passo indutivo.

Passo 2

Caso-base ( n=1):
3^2cdot1 + 7 = 3^2 + 7 = 9 + 7 = 16 = 8 times 2
Logo, 8 divide 3^2 + 7, isto é, o caso-base está confirmado.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum k>=1 valha
3^2k + 7 = 8m
para certo inteiro m. Isto é a nossa hipótese de indução.

Passo 4

Passo indutivo ( kto k+1): devemos mostrar que
3^2(k+1) + 7
também é múltiplo de 8. Começamos manipulando a expressão:
3^2(k+1) + 7 = 3^2k+2 + 7 = 9cdot 3^2k + 7 = 9l(3^2k+7r) - 56
Pela hipótese de indução, 3^2k+7 = 8m, então
9l(3^2k+7r) = 9cdot 8m = 8cdot (9m),
que é divisível por 8. Além disso, 56 = 8cdot7 também é divisível por 8. Como a diferença de dois múltiplos de 8 continua sendo múltiplo de 8, concluímos que
3^2(k+1) + 7
é divisível por 8.

Passo 5

Pelo princípio da indução matemática, a propriedade vale para todo inteiro n>=1.

Resposta

Para todo inteiro n>=1, o número 3^2n + 7 é divisível por 8.

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