Considere a equação diofantina linear -2 x+7 y=130.
a) Determine a solução geral da equação.
b) Encontre uma solução particular (x0, y0) tal que x0=y0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver em inteiros a equação diofantina linear
-2x + 7y = 130
Isso envolve (1) verificar que gcd(-2,7)=1 para garantir solução e (2) achar uma solução particular e depois a solução geral.

Passo 2

Usamos o algoritmo de Euclides estendido para representar 1 como combinação de -2 e 7:
7 = 2cdot 3 + 1Longrightarrow 1 = 7 - 2cdot 3
Multiplicando por 130 obtemos
130 = 7cdot 130 - 2cdot 390,
ou seja, uma solução particular é
xp = 390, yp = 130,
pois -2cdot 390 + 7cdot130 = -780 + 910 = 130.

Passo 3

Como gcd(-2,7)=1, a solução geral em inteiros é dada por
x = xp + 71,k = 390 + 7k, y = yp - -21,k = 130 + 2k,
com kinZ.

Passo 4

Para achar uma solução particular em que x0 = y0, impomos
390 + 7k = 130 + 2k
que leva a
5k = -260 Longrightarrow k = -52
Substituindo em x e y obtemos
x0 = 390 + 7(-52) = 26, y0 = 130 + 2(-52) = 26

Resposta

a) A solução geral é
(x,y) = (390 + 7k,;130 + 2k), kinZ
b) Uma solução particular com x0 = y0 é
(x0,y0) = (26,26)

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