Determine d=M D C364,231 através do método das divisões sucessivas e encontre x, y in Z tais que 364 x+231 y=d.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar o Máximo Divisor Comum (MDC) de 364 e 231 usando o método das divisões sucessivas. Além disso, devemos encontrar dois números inteiros x e y que satisfaçam a equação 364x + 231y = d , onde d é o MDC encontrado. Para isso, vamos utilizar o algoritmo de Euclides e o algoritmo estendido de Euclides.

Passo 2

Primeiro, aplicamos o algoritmo de Euclides para encontrar o MDC de 364 e 231. Esse método consiste em dividir o maior número pelo menor e continuar dividindo o divisor pelo resto até que o resto seja zero. O último divisor antes de chegar a zero será o MDC.
Vamos lá:
  1. Divisão 1:
    364 div 231 = 1 com resto 133
    Expressão: 364 = 231 times 1 + 133
  2. Divisão 2:
    231 div 133 = 1 com resto 98
    Expressão: 231 = 133 times 1 + 98
  3. Divisão 3:
    133 div 98 = 1 com resto 35
    Expressão: 133 = 98 times 1 + 35
  4. Divisão 4:
    98 div 35 = 2 com resto 28
    Expressão: 98 = 35 times 2 + 28
  5. Divisão 5:
    35 div 28 = 1 com resto 7
    Expressão: 35 = 28 times 1 + 7
  6. Divisão 6:
    28 div 7 = 4 com resto 0
    Expressão: 28 = 7 times 4 + 0
Quando o resto chega a zero, o último divisor não nulo é o MDC. Portanto, d = 7 .

Passo 3

Agora que encontramos o MDC d = 7 , precisamos encontrar os valores de x e y que satisfazem a equação 364x + 231y = 7 . Para isso, usamos o algoritmo estendido de Euclides, que nos permite expressar o MDC como uma combinação linear dos números originais.
Vamos voltar às divisões que fizemos e reescrever cada resto em termos dos números anteriores:
  1. 7 = 35 - 28 times 1
    E como 28 = 98 - 35 times 2 , substituímos:
    7 = 35 - (98 - 35 times 2) times 1 = 3 times 35 - 1 times 98
  2. Agora, substituímos 35 = 133 - 98 times 1 :
    7 = 3 times (133 - 98 times 1) - 1 times 98 = 3 times 133 - 4 times 98
  3. Substituímos 98 = 231 - 133 times 1 :
    7 = 3 times 133 - 4 times (231 - 133 times 1) = 7 times 133 - 4 times 231
  4. Finalmente, substituímos 133 = 364 - 231 times 1 :
    7 = 7 times (364 - 231 times 1) - 4 times 231 = 7 times 364 - 11 times 231
Portanto, encontramos que x = 7 e y = -11 .

Resposta

O MDC de 364 e 231 é d = 7 . Além disso, os números inteiros que satisfazem a equação 364x + 231y = 7 são x = 7 e y = -11 .

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