Determine
através do método das divisões sucessivas e encontre
tais que
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar o Máximo Divisor Comum (MDC) de 364 e 231 usando o método das divisões sucessivas. Além disso, devemos encontrar dois números inteiros
e
que satisfaçam a equação
, onde
é o MDC encontrado. Para isso, vamos utilizar o algoritmo de Euclides e o algoritmo estendido de Euclides.
Passo 2
Primeiro, aplicamos o algoritmo de Euclides para encontrar o MDC de 364 e 231. Esse método consiste em dividir o maior número pelo menor e continuar dividindo o divisor pelo resto até que o resto seja zero. O último divisor antes de chegar a zero será o MDC.
Vamos lá:
-
Divisão 1:
com resto
Expressão: -
Divisão 2:
com resto
Expressão: -
Divisão 3:
com resto
Expressão: -
Divisão 4:
com resto
Expressão: -
Divisão 5:
com resto
Expressão: -
Divisão 6:
com resto
Expressão:
Quando o resto chega a zero, o último divisor não nulo é o MDC. Portanto,
.
Passo 3
Agora que encontramos o MDC
, precisamos encontrar os valores de
e
que satisfazem a equação
. Para isso, usamos o algoritmo estendido de Euclides, que nos permite expressar o MDC como uma combinação linear dos números originais.
Vamos voltar às divisões que fizemos e reescrever cada resto em termos dos números anteriores:
-
E como, substituímos:
-
Agora, substituímos
:
-
Substituímos
:
-
Finalmente, substituímos
:
Portanto, encontramos que
e
.
Resposta
O MDC de 364 e 231 é
. Além disso, os números inteiros que satisfazem a equação
são
e
.