Prove usando indução
9 divide 10^n+3 cdot(4^n+2)+5, para todo n >= 1.

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução em n, que\r
9 mid l(10^n + 3cdot4^n+2 + 5r) \r
para todo n>=1. O método de indução exige dois pontos: base (caso n=1) e passo indutivo (assumir para n=k e provar para n=k+1).

Passo 2

(Base da indução) Para n=1, calculemos\r
10^1 + 3cdot4^1+2 + 5 = 10 + 3cdot4^3 + 5 = 10 + 3cdot64 + 5 = 207 = 9cdot23 \r
Logo, 9 divide 10^1 + 3cdot4^3 + 5.

Passo 3

(Hipótese de indução) Suponha que para algum k>=1 exista inteiro m tal que\r
10^k + 3cdot4^k+2 + 5 = 9m

Passo 4

(Prova para n=k+1) Considere\r
10^k+1 + 3cdot4^(k+1)+2 + 5 = 10cdot10^k + 3cdot4^k+3 + 5 = 10cdot10^k +12cdot4^k+2 +5 \r
Reescrevendo esse último termo em função da hipótese,\r
10cdot10^k +12cdot4^k+2 +5 =10l(10^k + 3cdot4^k+2 +5r) -18cdot4^k+2-45 \r
Pela hipótese de indução l(10^k +3cdot4^k+2+5=9mr), temos\r
10^k+1 + 3cdot4^k+3 + 5 =10cdot9m ;-;9l(2cdot4^k+2+5r) =9l(10m - (2cdot4^k+2+5)r), \r
que é múltiplo de 9.

Passo 5

Concluímos que, se a propriedade vale para n=k, então vale também para n=k+1. Juntando com a base ( n=1), por indução, a divisibilidade vale para todo n>=1.

Resposta

Por indução, 9 divide 10^n + 3cdot4^n+2 + 5 para todo n>=1.

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