Resolva os itens abaixo.
Sejam .

Passo 1

O enunciado dá a,pinN com p primo e pede para mostrar que, se
a^2equiv 1pmodp,
então as únicas soluções são
aequiv 1pmodp ou aequiv p-1pmodp
O conteúdo usado será fatoração em Z e o fato de que, em inteiros, um primo que divide um produto divide um dos fatores.

Passo 2

Da congruência a^2equiv 1pmodp segue
pmid (a^2-1)
Como em Z vale a fatoração
a^2-1 = (a-1)(a+1),
temos
pmid (a-1)(a+1)

Passo 3

Pelo fato de p ser primo, se pmid XY então pmid X ou pmid Y. Aplicando a X=a-1 e Y=a+1, obtemos
sty<= pmid (a-1)ou pmid (a+1)

Passo 4

Em termos de congruências, isso significa
a-1equiv 0pmodp Longrightarrow aequiv 1pmodp,
ou
a+1equiv 0pmodp Longrightarrow aequiv -1equiv p-1pmodp

Resposta

Se a^2equiv 1pmodp, então necessariamente
aequiv 1pmodp ou aequiv p-1pmodp

Exercícios relacionados