Sejam a, b, c in Z positivos consecutivos, tais que, a^2=b^2+c^2. Determine a, b, c

Passo 1

O enunciado pede para encontrar três inteiros positivos consecutivos (a,b,c) tais que
a^2 = b^2 + c^2
O conteúdo aqui é reconhecer uma condição de “terna pitagórica” em que os três números são consecutivos. Vamos assumir que c é o menor, b o seguinte e a o maior, e depois verificar a solução.

Passo 2

Como são consecutivos e a é o maior, podemos escrever
c = n, b = n + 1, a = n + 2,
com n inteiro positivo.

Passo 3

Substituímos estas expressões na equação a^2 = b^2 + c^2:
(n+2)^2 = (n+1)^2 + n^2

Passo 4

Expandindo ambos os lados, temos
n^2 + 4n + 4 = l(n^2 + 2n + 1r) + n^2 = 2n^2 + 2n + 1
Passando tudo para um lado, obtém-se
0 = 2n^2 + 2n + 1 - (n^2 + 4n + 4) = n^2 - 2n - 3

Passo 5

Resolvendo o trinômio
n^2 - 2n - 3 = 0
usando fórmula de Bhaskara ou fatorando, obtemos
(n - 3)(n + 1) = 0 Longrightarrow n = 3 ou n = -1
Como queremos inteiros positivos, ficamos com n = 3.

Passo 6

Substituindo n = 3 nas expressões de a,b,c, vem
c = 3, b = 4, a = 5
De fato, 5^2 = 4^2 + 3^2.

Resposta

a = 5, b = 4, c = 3

Exercícios relacionados