Resolva o seguinte PVI:
l y^prime prime+6 y^prime-7 y=0 y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 6,y' - 7,y = 0, y(0)=1,;y'(0)=0
Esse é um caso de EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos (i) montar a equação característica, (ii) encontrar suas raízes, (iii) escrever a solução geral e (iv) aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada à EDO:
r^2 + 6,r - 7 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara, o discriminante é
De<a = 6^2 - 4cdot1cdot(-7) = 36 + 28 = 64
Logo as raízes são
r1 = -6 + raiz642 = 1, r2 = -6 - raiz642 = -7

Passo 3

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(t) = C1,e^r1t + C2,e^r2t
ou seja
y(t) = C1,e^t + C2,e^-7t

Passo 4

Calculamos a derivada de y(t):
y'(t) = C1,e^t - 7,C2,e^-7t
Aplicamos as condições iniciais em t=0:
y(0)=C1+C2=1, y'(0)=C1-7,C2=0

Passo 5

Resolvendo o sistema
C1 + C2 = 1, C1 - 7,C2 = 0,
da segunda equação vem C1=7,C2. Substituindo na primeira:
7,C2 + C2 = 1 Longrightarrow 8,C2 = 1 Longrightarrow C2 = tfrac18,
e portanto
C1 = 7,C2 = tfrac78

Passo 6

Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos a solução particular do PVI:
y(t) = tfrac78,e^t + tfrac18,e^-7t

Resposta

y(t) = 78,e^t + 18,e^-7t

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