Considere a equação
Encontre uma solução geral da equação acima para
, com as condições:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de onda modificada
com condições de contorno homogêneas em
e condições iniciais
e
. Vamos usar separação de variáveis e séries de Fourier para chegar à solução geral.
Passo 2
Para aplicar separação de variáveis, assumimos uma solução do tipo
. Substituindo na PDE e dividindo por
obtemos
odando em dois problemas de autovalor: um para
e outro para
, com constante de separação
.
Passo 3
O problema espacial fica
com
. Para ter solução não-trivial, precisamos de
isto é,
para
. Os autofunções são
Passo 4
O problema temporal associado é
Portanto as soluções são
com
. Assim a combinação de todas as modulações dá
Passo 5
Fazendo as condições iniciais: de
vem
De
obtemos a expansão de Fourier em seno:
onde
Resposta
A solução geral é