Considere a equação
ut t(x, t)-4 ux x(x, t)+u(x, t)=0
Encontre uma solução geral da equação acima para 00, com as condições:
lll u(0, t)=0, & u(pi, t)=0, & 0 <= t ut(x, 0)=0, & u(x, 0)=g(x), & 0 <= x <= pi

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de onda modificada
utt(x,t) - 4uxx(x,t) + u(x,t) = 0,
com condições de contorno homogêneas em x=0,pi e condições iniciais u(x,0)=g(x) e ut(x,0)=0. Vamos usar separação de variáveis e séries de Fourier para chegar à solução geral.

Passo 2

Para aplicar separação de variáveis, assumimos uma solução do tipo u(x,t)=X(x),T(t). Substituindo na PDE e dividindo por X(x)T(t) obtemos
T''(t)T(t) + 1 = 4, racX''(x)X(x) = -mu,
odando em dois problemas de autovalor: um para X e outro para T, com constante de separação mu.

Passo 3

O problema espacial fica
X''(x) + mu4,X(x) = 0,
com X(0)=X(pi)=0. Para ter solução não-trivial, precisamos de
mu4 = n^2,
isto é, mu = 4n^2 para n=1,2,3,dots. Os autofunções são
Xn(x) = sin(nx)

Passo 4

O problema temporal associado é
T''(t) + (mu+1),T(t) = 0 Longrightarrow T''(t) + (4n^2+1),T(t) = 0
Portanto as soluções são
Tn(t) = Ancos(omegan t) + Bnsin(omegan t),
com omegan = raiz4n^2+1. Assim a combinação de todas as modulações dá
u(x,t) = sumn=1^infty l(Ancos(omegan t) + Bnsin(omegan t)r)sin(nx)

Passo 5

Fazendo as condições iniciais: de ut(x,0)=0 vem
ut(x,0) = sumn=1^infty Bn,omegan,sin(nx) = 0 Longrightarrow Bn=0
De u(x,0)=g(x) obtemos a expansão de Fourier em seno:
g(x) = sumn=1^infty Ansin(nx),
onde
An = 2piintegral0^pi g(s)sin(ns),ds

Resposta

A solução geral é
u(x,t) = sumn=1^infty l(2piintegral0^pig(s)sin(ns),dsr)cosl(raiz4n^2+1,tr),sin(nx)

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