Encontre, em cada item, a solução do problema de Cauchy, usando o Método dos Coeficientes a Determinar para encontrar a solução particular da equação não homogênea.
Passo 1
Esse problema é um problema de Cauchy, ou seja, um problema de valor inicial, envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem não homogênea. O conteúdo aqui é o Método dos Coeficientes a Determinar, que exige primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Para a parte homogênea associada
montamos a equação característica
. Resolvendo, encontramos as raízes
e
. Logo, a solução geral homogênea é
.
Passo 3
Para encontrar a solução particular
de
, fazemos o palpite de polinômio de grau 1:
Calculamos as derivadas
e substituímos na equação.
Passo 4
Substituindo na parte esquerda da equação não homogênea temos
o que leva a
Agora igualamos coeficientes de
e constantes: para
:
; constantes:
.
Passo 5
Da primeira equação
obtemos
. Substituindo em
dá
, logo
. Assim,
Passo 6
A solução geral do problema de Cauchy é
Agora precisamos ajustar
Passo 7
Aplicando
temos
portanto
Aplicando obtemos
Aplicando
logo
Resolvendo o sistema
Resolvendo o sistema
agora achamos
e
.