Encontre, em cada item, a solução do problema de Cauchy, usando o Método dos Coeficientes a Determinar para encontrar a solução particular da equação não homogênea.
ly^prime prime+y^prime-2 y=2 x y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

Esse problema é um problema de Cauchy, ou seja, um problema de valor inicial, envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem não homogênea. O conteúdo aqui é o Método dos Coeficientes a Determinar, que exige primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Para a parte homogênea associada y'' + y' - 2y = 0 montamos a equação característica r^2 + r - 2 = 0. Resolvendo, encontramos as raízes r1 = 1 e r2 = -2. Logo, a solução geral homogênea é yh(x) = C1e^x + C2e^-2x.

Passo 3

Para encontrar a solução particular yp de y'' + y' - 2y = 2x, fazemos o palpite de polinômio de grau 1: yp(x) = Ax + B Calculamos as derivadas
yp'(x) = A,
yp''(x) = 0
e substituímos na equação.

Passo 4

Substituindo na parte esquerda da equação não homogênea temos
0 + A - 2(Ax + B) = 2x,
o que leva a
-2A x + (A - 2B) = 2x
Agora igualamos coeficientes de x e constantes: para x: -2A = 2; constantes: A - 2B = 0.

Passo 5

Da primeira equação -2A = 2 obtemos A = -1. Substituindo em A - 2B = 0 -1 - 2B = 0, logo B = -tfrac12. Assim,
yp(x) = -x - tfrac12

Passo 6

A solução geral do problema de Cauchy é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1e^x + C2e^-2x - x - tfrac12
Agora precisamos ajustar C1 e C2 às condições iniciais. Calculamos a derivada geral:
y'(x) = C1e^x - 2C2e^-2x - 1

Passo 7

Aplicando y(0)=0 temos
C1 + C2 - 0 - tfrac12 = 0
portanto C1 + C2 = tfrac12
Aplicando y'(0)=1 obtemos
C1 - 2C2 - 1 = 1
logo C1 - 2C2 = 2
Resolvendo o sistema
C1+C2=tfrac12C1-2C2=2
agora achamos C1=1 e C2=-tfrac12.

Resposta

y(x)=e^x-tfrac12e^-2x-x-tfrac12

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