Determine uma solução particular de cada equação abaixo, usando o Método da Variação de Parâmetros.
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos achar uma solução particular para a EDO não homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes
usando o método da variação de parâmetros. Vamos precisar das soluções da homogênea associada e do wronskiano.
Passo 2
Começando pela homogênea associada
A equação característica é
, com raízes
. Logo a solução geral da homogênea é
$$y_h(x)=C_1\cos(3x)+C_2\sin(3x).
$$
Tomamos as funções fundamentais
$$y_1(x)=\cos(3x),\quad y_2(x)=\sin(3x).
$$
O wronskiano é
$$W(y_1,y_2)=
=3.
$$
Passo 3
No método da variação de parâmetros buscamos
onde
$$u_1’(x)=-\frac{y_2(x),g(x)}{W(x)},\quad u_2’(x)=\frac{y_1(x),g(x)}{W(x)},\quad g(x)=9\sec^2(3x).
$$
Passo 4
Calculando as derivadas das funções variáveis:
$$u_2’(x)=\frac{\cos(3x)\cdot9\sec2(3x)}{3}=3\frac{\cos(3x)}{\cos2(3x)}=3\sec(3x).
$$
Agora integramos:
usando a substituição
u1(x)=integral u1'(x),dx=-3integralsin(3x)cos^2(3x),dx=-sec(3x), ,
Passo 5
Substituindo em
yp=u1y1+u2y2 obtemos
Resposta
Uma solução particular é
yp(x)=-1+sin(3x)lnl|sec(3x)+tan(3x)r| .