Determine uma solução particular de cada equação abaixo, usando o Método da Variação de Parâmetros.
y^prime prime+9 y=9 sec ^2(3 x) ; 0.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos achar uma solução particular para a EDO não homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes
y''+9y=9sec^2(3x),0
usando o método da variação de parâmetros. Vamos precisar das soluções da homogênea associada e do wronskiano.

Passo 2

Começando pela homogênea associada
y''+9y=0
A equação característica é r^2+9=0, com raízes r=pm3i. Logo a solução geral da homogênea é
$$y_h(x)=C_1\cos(3x)+C_2\sin(3x).
$$
Tomamos as funções fundamentais
$$y_1(x)=\cos(3x),\quad y_2(x)=\sin(3x).
$$
O wronskiano é
$$W(y_1,y_2)= yh(x)=C1cos(3x)+C2sin(3x) =3.
$$

Passo 3

No método da variação de parâmetros buscamos
yp(x)=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x),
onde
$$u_1’(x)=-\frac{y_2(x),g(x)}{W(x)},\quad u_2’(x)=\frac{y_1(x),g(x)}{W(x)},\quad g(x)=9\sec^2(3x).
$$

Passo 4

Calculando as derivadas das funções variáveis:
u1'(x)=-sin(3x)cdot9sec^2(3x)3=-3sin(3x)cos^2(3x),
$$u_2’(x)=\frac{\cos(3x)\cdot9\sec2(3x)}{3}=3\frac{\cos(3x)}{\cos2(3x)}=3\sec(3x).
$$
Agora integramos:
u2'(x)=cos(3x)cdot9sec^2(3x)3=3cos(3x)cos^2(3x)=3sec(3x)
usando a substituição u1(x)=integral u1'(x),dx=-3integralsin(3x)cos^2(3x),dx=-sec(3x),,
w=cos(3x)

Passo 5

Substituindo em yp=u1y1+u2y2 obtemos
yp(x)=-sec(3x)cos(3x)+lnl|sec(3x)+tan(3x)r|sin(3x)=-1+sin(3x)lnl|sec(3x)+tan(3x)r|

Resposta

Uma solução particular é yp(x)=-1+sin(3x)lnl|sec(3x)+tan(3x)r|.

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