Considere a equação de Euler:
(a) Mostre que se
é uma raiz complexa de
então
é uma solução com valores complexos da equação de Euler.
(b) Mostre que
e
são soluções reais da equação de Euler.
(b) Mostre que
Passo 1
O enunciado trata da equação de Euler
cuja solução típica usa o Ansatz
Ao substituir esse
na EDO obtemos a equação característica
Como
é raiz dessa equação, vamos verificar que
satisfaz a EDO.
Passo 2
Derivamos
Substituindo em
dá
Como
anula
, o coeficiente entre colchetes é zero. Logo
é solução complexa.
Passo 3
Escrevendo
, temos
Isso mostra explicitamente a forma da solução complexa.
Passo 4
Como a EDO tem coeficientes reais, a parte real e a parte imaginária de qualquer solução complexa também são soluções reais. Assim
são duas soluções reais independentes.
Resposta
(a)
é solução complexa.
(b) As soluções reais independentes são
(b) As soluções reais independentes são