Considere a equação de Euler:
t^{2} \ddot{y}+a t \dot{y}+b y=0
(a) Mostre que se \lambda_{1}=\alpha+i \beta é uma raiz complexa de \lambda^{2}+(a-1) \lambda+b=0 então
t^{\alpha+i \beta}=t^{\alpha} t^{i \beta}=t^{\alpha} e^{(\ln t) i \beta}=t^{\alpha}(\cos (\beta \ln t)+i \operatorname{sen}(\beta \ln t))
é uma solução com valores complexos da equação de Euler.
(b) Mostre que t^{\alpha} \cos (\beta \ln t) e t^{\alpha} \operatorname{sen}(\beta \ln t) são soluções reais da equação de Euler.

Passo 1

O enunciado trata da equação de Euler
t^{2}\ddot y + a\,t\dot y + b\,y = 0
cuja solução típica usa o Ansatz
y(t)=t^{\lambda}.
Ao substituir esse y na EDO obtemos a equação característica
\lambda(\lambda-1)+a\lambda+b=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \lambda^{2}+(a-1)\lambda+b=0.
Como \lambda_{1}=\alpha+i\beta é raiz dessa equação, vamos verificar que y(t)=t^{\lambda_{1}} satisfaz a EDO.

Passo 2

Derivamos
y = t^{\lambda_{1}}, \quad \dot y = \lambda_{1}t^{\lambda_{1}-1}, \quad \ddot y = \lambda_{1}(\lambda_{1}-1)t^{\lambda_{1}-2}.
Substituindo em t^{2}\ddot y + a\,t\dot y + b\,y
t^{2}\bigl[\lambda_{1}(\lambda_{1}-1)t^{\lambda_{1}-2}\bigr] + a\,t\bigl[\lambda_{1}t^{\lambda_{1}-1}\bigr] + b\,t^{\lambda_{1}} = \bigl[\lambda_{1}(\lambda_{1}-1)+a\lambda_{1}+b\bigr]t^{\lambda_{1}}.
Como \lambda_{1} anula \lambda^{2}+(a-1)\lambda+b, o coeficiente entre colchetes é zero. Logo y=t^{\lambda_{1}} é solução complexa.

Passo 3

Escrevendo \lambda_{1}=\alpha+i\beta, temos
t^{\alpha+i\beta} = t^{\alpha}\,t^{i\beta} = t^{\alpha}e^{i\beta\ln t} = t^{\alpha}\bigl[\cos(\beta\ln t)+i\,\operatorname{sen}(\beta\ln t)\bigr].
Isso mostra explicitamente a forma da solução complexa.

Passo 4

Como a EDO tem coeficientes reais, a parte real e a parte imaginária de qualquer solução complexa também são soluções reais. Assim
y_{1}(t)=t^{\alpha}\cos(\beta\ln t), \quad y_{2}(t)=t^{\alpha}\operatorname{sen}(\beta\ln t)
são duas soluções reais independentes.

Resposta

(a) t^{\alpha+i\beta}=t^{\alpha}e^{i\beta\ln t} =t^{\alpha}[\cos(\beta\ln t)+i\operatorname{sen}(\beta\ln t)] é solução complexa.
(b) As soluções reais independentes são
t^{\alpha}\cos(\beta\ln t) \quad\text{e}\quad t^{\alpha}\operatorname{sen}(\beta\ln t).

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