Determine a solução geral de:
t^{2} \ddot{y}+t \dot{y}+y=0, t>0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Euler–Cauchy
t^{2}\ddot y + t\dot y + y = 0,\quad t>0.
Esse tipo de equação é equidimensional em t, e para resolvê-la vamos supor uma solução do tipo y=t^{r}.

Passo 2

Supondo y=t^{r}, temos
\dot y = r\,t^{r-1},\qquad \ddot y = r(r-1)\,t^{r-2}.
Agora vamos substituir esses termos na equação original.

Passo 3

Substituindo em t^{2}\ddot y + t\dot y + y=0 obtemos
t^{2}\bigl[r(r-1)t^{r-2}\bigr]+t\bigl[r\,t^{r-1}\bigr]+t^{r}=0
\Longrightarrow r(r-1)t^{r}+r\,t^{r}+t^{r}=0
Como t^{r}\neq0 para t>0, ficamos com a equação indicial
r(r-1)+r+1=0
que simplifica para
r^{2}+1=0.

Passo 4

As raízes da indicial são
r = \pm i.
Para raízes complexas conjugadas 0\pm i, a forma real da solução geral é
y(t)=C_{1}t^{0}\cos\bigl(1\cdot\ln t\bigr)+C_{2}t^{0}\sin\bigl(1\cdot\ln t\bigr)
ou seja
y(t)=C_{1}\cos(\ln t)+C_{2}\sin(\ln t),
onde C_{1} e C_{2}$ são constantes arbitrárias.ãá

Resposta

A solução geral é
y(t)=C_{1}\cos(\ln t)+C_{2}\sin(\ln t).

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