Determine uma solução particular de cada equação abaixo.
\ddot{y}-2 \dot{y}+5 y=2 \cos ^{2} t

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
\ddot{y}-2\dot{y}+5y=2\cos^{2}t
O conteúdo é “método dos coeficientes indeterminados”. Vamos precisar usar a identidade trigonométrica para simplificar o termo forçante e depois propor um polinômio em cosseno e seno.

Passo 2

Usamos a identidade
\cos^{2}t=\frac{1+\cos(2t)}{2}
Logo
2\cos^{2}t=1+\cos(2t)
A equação fica
\ddot{y}-2\dot{y}+5y=1+\cos(2t).

Passo 3

Para o termo constante 1, propomos uma parte particular da forma y_{1}=C. Substituindo em \ddot{y}-2\dot{y}+5y
0-0+5C=1
Logo
C=\frac{1}{5}.

Passo 4

Para o termo \cos(2t), propomos
y_{2}=A\cos(2t)+B\sin(2t).
Calculamos as derivadas:
y_{2}'=-2A\sin(2t)+2B\cos(2t), \quad y_{2}''=-4A\cos(2t)-4B\sin(2t).
Substituindo em \ddot{y}-2\dot{y}+5y obtemos o coeficiente de \cos(2t):
(-4A)-2\,(2B)+5A =A-4B
e o coeficiente de \sin(2t):
(-4B)-2\,(-2A)+5B=4A+B.
Esses devem igualar, respectivamente, a 1 (coeficiente de \cos(2t) no lado direito) e a 0:
\begin{cases} A-4B=1,\\\\ 4A+B=0. \end{cases}

Passo 5

Resolvendo o sistema
4A+B=0\implies B=-4A,
A-4(-4A)=1\implies 17A=1\implies A=\frac{1}{17},\quad B=-\frac{4}{17}.

Passo 6

A solução particular geral é a soma das duas partes:
y_{p}=y_{1}+y_{2} =\frac{1}{5}+\frac{1}{17}\cos(2t)-\frac{4}{17}\sin(2t).

Resposta

y_{p}(t)=\frac{1}{5}+\frac{1}{17}\cos(2t)-\frac{4}{17}\sin(2t).

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