Determine a solução geral de:
t^{2} \ddot{y}+2 t \dot{y}+2 y=0, t>0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
t^{2}\ddot{y} + 2t\dot{y} + 2y = 0,\quad t>0.
Este é um caso de equação de Cauchy–Euler (ou equação com coeficientes proporcionais a potências de t). Para resolvê-la, vamos usar a hipótese de solução do tipo y=t^{r}.

Passo 2

Suponha
y(t)=t^{r}.
Então
\dot{y} = r\,t^{r-1}, \qquad \ddot{y} = r(r-1)\,t^{r-2}.
Substituindo na equação original:

Passo 3

t^{2}\bigl[r(r-1)\,t^{r-2}\bigr] + 2t\bigl[r\,t^{r-1}\bigr] + 2\,t^{r} = 0
simplifica para
\bigl[r(r-1) + 2r + 2\bigr]\,t^{r} = 0.
Como t^{r}\neq0 para t>0, obtemos a equação característica
r^{2} + r + 2 = 0.

Passo 4

Resolvendo r^{2}+r+2=0, o discriminante é
\Delta = 1 - 8 = -7,
logo as raízes são complexas:
r = \frac{-1 \pm i\sqrt{7}}{2}.
Para raízes r=\alpha\pm i\beta, a solução real geral é
y(t) = t^{\alpha}\Bigl(C_{1}\cos(\beta\ln t) + C_{2}\sin(\beta\ln t)\Bigr).
Aqui \alpha=-\tfrac12 e \beta=\tfrac{\sqrt{7}}{2}.

Resposta

y(t) = t^{-\tfrac12}\Bigl(C_{1}\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt{7}}{2}\ln t\bigr) + C_{2}\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{7}}{2}\ln t\bigr)\Bigr),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

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