Considere a equação exponencial 2^{x}=13 e faça o que se pede.
a) A equação tem solução representada por um número inteiro? Justifique. 45. a) Não; resposta pessoal.
b) Essa equação tem solução real e isso pode ser justificado a partir da função f(x)=2^{x}. Explique. 45. b) Resposta
c) Entre quais números inteiros consecutivos a equação admite solução real? 45. c) Entre 3 e 4. pessoal.

Passo 1

O enunciado pede para a equação \;2^x = 13\;:
  • (a) verificar se existe solução inteira;
  • (b) justificar que há solução real usando f(x)=2^x;
  • (c) encontrar entre quais inteiros consecutivos está essa solução.
    Aqui vamos usar propriedades de função exponencial: continuidade, monotonicidade e valores em inteiros.

Passo 2

Para ver se existe solução inteira, calculamos as potências de base 2 em inteiros próximos:
2^3 = 8, \qquad 2^4 = 16.
Como 8 < 13 < 16, não há nenhum inteiro n tal que 2^n = 13. Logo, não existe solução inteira.

Passo 3

A função f(x)=2^x é contínua e estritamente crescente em todo \mathbb{R}, e seu contradomínio é (0,\infty). Como 13\in(0,\infty), pelo Teorema do Valor Intermediário (e pela monotonicidade), existe exatamente um x\in\mathbb{R} tal que 2^x=13. Assim, a equação tem solução real única.

Passo 4

Já vimos que
f(3)=2^3=8<13 \quad\text{e}\quad f(4)=2^4=16>13.
Pela continuidade e crescimento de f, a solução real satisfaz
3 < x < 4.

Resposta

a) Não, porque 2^3=8<13<16=2^4, então nenhum inteiro satisfaz 2^n=13.
b) Sim: f(x)=2^x é contínua e estritamente crescente de (-\infty,\infty) em (0,\infty), logo atinge o valor 13 exatamente uma vez.
c) A solução real está entre 3 e 4.

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