Considere a equação exponencial
e faça o que se pede.
a) A equação tem solução representada por um número inteiro? Justifique. 45. a) Não; resposta pessoal.
b) Essa equação tem solução real e isso pode ser justificado a partir da função
. Explique. 45. b) Resposta
c) Entre quais números inteiros consecutivos a equação admite solução real? 45. c) Entre 3 e 4. pessoal.
a) A equação tem solução representada por um número inteiro? Justifique. 45. a) Não; resposta pessoal.
b) Essa equação tem solução real e isso pode ser justificado a partir da função
c) Entre quais números inteiros consecutivos a equação admite solução real? 45. c) Entre 3 e 4. pessoal.
Passo 1
O enunciado pede para a equação
:
- (a) verificar se existe solução inteira;
- (b) justificar que há solução real usando
; - (c) encontrar entre quais inteiros consecutivos está essa solução.
Aqui vamos usar propriedades de função exponencial: continuidade, monotonicidade e valores em inteiros.
Passo 2
Para ver se existe solução inteira, calculamos as potências de base
em inteiros próximos:
Como
, não há nenhum inteiro
tal que
. Logo, não existe solução inteira.
Passo 3
A função
é contínua e estritamente crescente em todo
, e seu contradomínio é
. Como
, pelo Teorema do Valor Intermediário (e pela monotonicidade), existe exatamente um
tal que
. Assim, a equação tem solução real única.
Passo 4
Já vimos que
Pela continuidade e crescimento de
, a solução real satisfaz
Resposta
a) Não, porque
, então nenhum inteiro satisfaz
.
b) Sim: é contínua e estritamente crescente de
em
, logo atinge o valor
exatamente uma vez.
c) A solução real está entre e
.
b) Sim:
c) A solução real está entre