Resolva cada uma das seguintes equações exponenciais para a incógnita x :
4^{x}+4^{x+1}+4^{x+2}=33644.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial 4^{x}+4^{x+1}+4^{x+2}=33644. Vamos usar a ideia de progressão geométrica nas potências de 4 e depois aplicar logaritmo para isolar x.

Passo 2

Repare que
4^{x+1}=4\cdot4^{x} \quad\text{e}\quad 4^{x+2}=4^{2}\cdot4^{x}=16\cdot4^{x}.
Então podemos escrever a soma como
4^{x}+4^{x+1}+4^{x+2} =4^{x}\,(1+4+16) =4^{x}\cdot21.

Passo 3

Substituindo na equação original, temos
21\cdot4^{x}=33644
e portanto
4^{x}=\frac{33644}{21}.

Passo 4

Para encontrar x, aplicamos logaritmo natural em ambos os lados:
x =\frac{\ln\!\bigl(\tfrac{33644}{21}\bigr)}{\ln(4)}.
Isso já é a forma exata da solução.

Passo 5

Se quisermos uma aproximação numérica, note que \tfrac{33644}{21}\approx1602,095, logo
x\approx\frac{\ln(1602,095)}{\ln(4)}\approx5,325.

Resposta

x=\frac{\ln\!\bigl(\tfrac{33644}{21}\bigr)}{\ln(4)}\approx5,325.

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